Prawo Benforda w wykrywaniu oszustw

Wykrywanie oszustw w R

Bart Baesens

Professor Data Science at KU Leuven

Wiele zbiorów danych spełnia prawo Benforda

Dane, w których liczby reprezentują rozmiary faktów lub zdarzeń
Dane, w których liczby nie są ze sobą powiązane
Zbiory danych rosnące wykładniczo lub powstałe wskutek fluktuacji multiplikatywnych
Mieszaniny różnych zbiorów danych
Niektóre znane nieskończone ciągi liczb całkowitych

Najlepiej, gdy zbiór zawiera ponad 1000 liczb obejmujących wiele rzędów wielkości.

Przykłady

transakcje księgowe
transakcje kartą kredytową
salda klientów
współczynniki śmiertelności
średnice planet
rachunki za prąd i telefon
liczby Fibonacciego
dochody
roszczenia ubezpieczeniowe

długości i przepływy rzek
dane kredytowe
liczby artykułów prasowych
stałe fizyczne i matematyczne
populacje miast
potęgi liczby 2
zamówienia zakupu
ceny akcji i nieruchomości
...

Prawo Benforda w wykrywaniu oszustw

Oszustwa polegają zazwyczaj na wprowadzaniu fikcyjnych liczb lub modyfikowaniu rzeczywistych danych.
Prawo Benforda jest popularnym narzędziem wykrywania oszustw i jest nawet dopuszczalne jako dowód w sądach USA.
Stosowano je m.in. do wykrywania oszustw ubezpieczeniowych, czekowych, kradzieży energii, rachunkowości sądowej i oszustw płatniczych.
Zob. także książkę Benford's Law: Applications for forensic accounting, auditing, and fraud detection Nigrini (John Wiley & Sons, 2012).

Uwaga

Dane mogą po prostu nie spełniać prawa Benforda.

Jeśli dane mają dolne i/lub górne ograniczenie lub są skupione w wąskim przedziale, np. stawka godzinowa, wzrost ludzi.
Jeśli liczby pełnią rolę numerów identyfikacyjnych lub etykiet, np. PESEL, numery lotów, tablice rejestracyjne, numery telefonów.
Fluktuacje addytywne zamiast multiplikatywnych, np. liczba uderzeń serca w ciągu dnia.

Prawo Benforda dla dwóch pierwszych cyfr

Zbiór danych spełnia prawo Benforda dla dwóch pierwszych cyfr, jeśli prawdopodobieństwo, że pierwsze dwie cyfry $D_1D_2$ wynoszą $d_1d_2$, jest w przybliżeniu:

$$P(D_1D_2=d_1d_2)=\log\left(1+\frac{1}{d_1d_2}\right) \qquad d_1d_2\in [10, 11, ..., 98, 99]$$

benlaw <- function(d) log10(1 + 1 / d)
benlaw(12)

0.03476211

Test ten jest bardziej wiarygodny niż test pierwszej cyfry i najczęściej stosowany w wykrywaniu oszustw.

Dane spisowe

bfd.cen <- benford(census.2009$pop.2009, number.of.digits = 2) 
plot(bfd.cen)

Dane spisowe – wykres benforda dla dwóch cyfr

Zwroty kosztów pracowniczych

Dział audytu wewnętrznego sprawdza zwroty kosztów pracowniczych pod kątem oszustw.
Pracownicy mogą ubiegać się o zwrot kosztów posiłków służbowych i podróży, przesyłając skany paragonów.
Przeanalizujemy kwoty zwrócone pracownikowi Sebastiaanowi w ciągu ostatnich 5 lat.
Zbiór expenses zawiera 1000 zwrotów kosztów.
Użyjemy ponownie funkcji z pakietu benford.analysis.

Analiza prawem Benforda dla pierwszej cyfry

bfd1.exp <- benford(expenses, number.of.digits = 1) 
plot(bfd1.exp)

Analiza wydatków – prawo Benforda dla pierwszej cyfry

Analiza prawem Benforda dla dwóch pierwszych cyfr

bfd2.exp <- benford(expenses, number.of.digits = 2) 
plot(bfd2.exp)

Analiza wydatków – prawo Benforda dla dwóch pierwszych cyfr

Czas na ćwiczenia!

Wykrywanie oszustw w R