Matematyczne modele systemów dynamicznych

Symulacja zdarzeń dyskretnych w Pythonie

Diogo Costa (PhD, MSc)

Adjunct Professor, University of Saskatchewan, Canada & CEO of ImpactBLUE-Scientific

Czym jest model matematyczny?

Opis systemu naturalnego lub wywołanego przez człowieka za pomocą pojęć i języka matematycznego.

Modele można klasyfikować jako:

Dynamiczne vs. niedynamiczne
Dyskretne vs. ciągłe
Deterministyczne vs. probabilistyczne (stochastyczne)
Liniowe vs. nieliniowe
Inne

Modele matematyczne mogą być proste lub złożone.

Cyfrowe przybliżenia rzeczywistości
Niemożliwe jest uwzględnienie wszystkich procesów

George Box: "Wszystkie modele są błędne, ale niektóre są użyteczne."

Zdjęcie rzeki płynącej przez skalisty teren.

Przykład: model prognozowania procesów naturalnych

Model przepływu w rzece

Wykres obserwowanego i symulowanego przepływu w czasie na stacji hydrologicznej Goaya w Chinach. Model odwzorowuje zarejestrowane przepływy, które znacznie się zmieniają w czasie.

Model przewiduje przepływ dla stacji hydrologicznej Goaya w Chinach.
Prognoza opiera się na danych opadowych jako danych wejściowych modelu.

Inne przykłady

Prognoza pogody
Prognoza falowania oceanu
Jakość wody w jeziorach
Powodzie miejskie
I wiele innych zastosowań

¹ Chen, C., He, W., Zhou, H. et al. A comparative study among machine learning and numerical models for simulating groundwater dynamics in the Heihe River Basin, northwestern China. Sci Rep 10, 3904 (2020). https://doi.org/10.1038/s41598-020-60698-9

Przykład: model prognozowania działalności człowieka

Prognozowanie inflacji

Wykres danych o inflacji w Wielkiej Brytanii (2002–2021) i prognozy (2022) opracowanej przez BNP Paribas. Prognoza wskazuje inflację na poziomie 7% w 2022 roku.

Prognozowanie inflacji jest kluczowe dla zapobiegania kryzysom gospodarczym

Inne przykłady

Łańcuch dostaw
Produkcja
Logistyka
Prognozy gospodarcze
Transport
Inne

¹ https://www.ft.com/content/218d35ab-b044-467a-bb62-0d17547a4350

Ogólna struktura i komponenty kodu

3 główne komponenty
Dane wejściowe i parametry modelu

# Define model parameters
processes = {"process_1": 5,
             "process_2": 2,
             "process_3": 3}

Konfiguracja uruchomienia

# Simulation period
simulation_time = 365

# Run model
discrete_model(processes, simulation_time)

Silnik modelu

def discrete_model(processes, simulation_time):

  # 1) Run end-condition
  while (time < simulation_time):
      process_names = list(processes.keys())


      # 2) Loop over all processes
      for p in range(len(process_names)):
         process_name_p = process_names[p]


         # 3) Account for effect of each process
         time += processes[process_name_p]

Wyniki modelu

Przykład wyników modelu zdarzeniowo-dyskretnego dla działalności produkcyjnej

=> START OF SIMULATION  (Time = 0 days) 
Time =    6.00 days  |  Process Complete: Transport of raw material
Time =    9.00 days  |  Process Complete: Building components
Time =   11.00 days  |  Process Complete: Assembling parts
Time =   14.00 days  |  Process Complete: Selling product
=> COMPLETED: Supply-Chain cycle #1 | Time = 15.5 days
Time =   21.50 days  |  Process Complete: Transport raw material
Time =   24.50 days  | Process Complete: Building components
Time =   26.50 days  |  Process Complete: Assembling parts
Time =   29.50 days  |  Process Complete: Selling product
=> COMPLETED: Supply-Chain cycle #2 | Time = 31.0 days

Wizualizacja wyników modelu

Graficzna wizualizacja wyników: ułatwia identyfikację wzorców i punktów krytycznych.
Wizualizacja powinna być dostosowana do celów symulacji.
Przydatne pakiety do wizualizacji: matplotlib, seaborn, plotly.

Logo biblioteki Matplotlib. Logo biblioteki Seaborn. Logo biblioteki Plotly.

Przykłady

Wykresy liniowe lub punktowe danych modelu (y) względem czasu (x)

plt.plot(x, y, color='green', marker='o', 
         markersize=12, linestyle='dashed', 
         linewidth=2)

Histogram grupujący dane x i zliczający wartości w każdym przedziale

plt.hist(x, 50, density=True, 
         facecolor='g', alpha=0.75)

Czas na ćwiczenia!

Symulacja zdarzeń dyskretnych w Pythonie