Modele GARCH: droga naprzód

Modele GARCH w R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Twórcy modeli GARCH

Robert Engle

Engle

Tim Bollerslev

Bollie

Przewidywana zmienność

W chwili $t-1$ prognozuje się przyszłą stopę zwrotu $R_t$, korzystając ze zbioru informacji dostępnego w chwili $t-1$:

Przewidywana zmienność

Prognozowanie średniej stopy zwrotu: jaka jest najlepsza możliwa prognoza rzeczywistej stopy zwrotu?

Następnie przewidujemy wariancję: jak bardzo stopa zwrotu może odbiegać od średniej?

Modele AR(MA) dla średniej – zob. kurs DataCamp o analizie szeregów czasowych.

Aby proces GARCH był realistyczny, wymagamy:

$\omega$, $\alpha$ i $\beta$ są $>0$: gwarantuje to, że $\sigma^2_t >0$ w każdym momencie.
$\alpha + \beta < 1$: gwarantuje to, że prognozowana wariancja $\sigma^2_t$ zawsze wraca do wariancji długookresowej:
- Wariancja jest zatem „powracająca do średniej"
- Wariancja długookresowa wynosi $ \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$

$$ \sigma^{2}_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

# Set parameter values
alpha <- 0.1
beta <- 0.8
omega <- var(sp500ret) * (1 - alpha - beta)
# Then: var(sp500ret) = omega / (1 - alpha - beta)

# Set series of prediction error
e <- sp500ret - mean(sp500ret) # Constant mean
e2 <- e ^ 2

# We predict for each observation its variance. 
nobs <- length(sp500ret)
predvar <- rep(NA, nobs)

# Initialize the process at the sample variance
predvar[1] <- var(sp500ret)

# Loop starting at 2 because of the lagged predictor
for (t in 2:nobs){
   predvar[t] <- omega + alpha * e2[t - 1] + beta * predvar[t-1]
}

# Volatility is sqrt of predicted variance
predvol <- sqrt(predvar)
predvol <- xts(predvol, order.by = time(sp500ret))

# We compare with the unconditional volatility
uncvol <- sqrt(omega / (1 - alpha-beta))
uncvol <- xts(rep(uncvol, nobs), order.by = time(sp500ret))

# Plot
plot(predvol)
lines(uncvol, col = "red", lwd = 2)

Przewidywana zmienność

Modele GARCH w R