Pakiet rugarch

Modele GARCH w R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Normalny model GARCH(1,1) ze stałą średnią

Normalny model GARCH

$$ R_t = \mu + e_t $$ $$ e_t \sim N(0, \sigma^2_t) $$ $$ \sigma^2_t = \omega + \alpha e^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1} $$

Cztery parametry: $\mu, \omega, \alpha, \beta$.
Estymacja metodą największej wiarygodności: wyznaczenie wartości parametrów, przy których model GARCH z największym prawdopodobieństwem wygenerował obserwowany szereg stóp zwrotu.

Alexios Ghalanos

library(rugarch)
citation("rugarch")

To cite the rugarch package, please use:

Alexios Ghalanos (2018). rugarch: Univariate GARCH models.R package version 1.4-0.

Przepływ pracy

Trzy kroki:
- ugarchspec(): Określenie modelu GARCH (średnia $\mu_t$, wariancja $\sigma^2_t$, rozkład $e_t$)
  - ugarchfit(): Estymacja modelu GARCH na szeregu stóp zwrotu $R_1,...,R_T$.
  - ugarchforecast(): Prognozowanie zmienności $R_{T+1}$,...

Przepływ pracy w R

ugarchspec() określa model GARCH do użycia.

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                           variance.model = list(model = "sGARCH"),
                           distribution.model = "norm")

ugarchfit() estymuje model GARCH.

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

ugarchforecast() prognozuje zmienność przyszłych stóp zwrotu.

garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 5)

Obiekt ugarchfit

Obiekt ugarchfit zawiera wszystkie wyniki estymacji modelu GARCH.
Metody coef, uncvar, fitted i sigma:

# Coefficients
garchcoef <- coef(garchfit)
# Unconditional variance
garchuncvar <- uncvariance(garchfit)
# Predicted mean
garchmean <- fitted(garchfit) 
# Predicted volatilities
garchvol <- sigma(garchfit)

Współczynniki GARCH dla dziennych stóp zwrotu S&P 500

print(garchcoef)

          mu        omega       alpha1        beta1 
5.728020e-04 1.220515e-06 7.792031e-02 9.111455e-01

$$ R_{t} = 5.7 \times 10^{-4} + e_{t} $$ $$ e_{t} \sim N(0, \hat{\sigma}^{2}_{t}) $$ $$ \hat{\sigma}^{2}_{t} = 1.2 \times 10^{-6} + 0.08 e^{2}_{t-1} + 0.91 \hat{\sigma}^{2}_{t-1} $$

sqrt(garchuncvar)

0.01056519

Oszacowane zmienności

garchvol <- sigma(garchfit)
plot(garchvol)

Co ze zmiennością w przyszłości?

tail(garchvol, 1)

2017-12-29 0.004862908

Co ze zmiennością w dniach następujących po końcu szeregu czasowego?

Prognozowanie zmienności na h dni wprzód

Metoda sigma() zastosowana do obiektu ugarchforecast zwraca prognozy zmienności:

sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770
T+4  0.005305465
T+5  0.005390797

Prognozowanie zmienności na h dni wprzód

Metoda fitted() zastosowana do obiektu ugarchforecast zwraca prognozy średniej:

fitted(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.000572802
T+2  0.000572802
T+3  0.000572802
T+4  0.000572802
T+5  0.000572802

Zastosowanie w taktycznej alokacji aktywów

Portfel inwestujący udział $w$ w ryzykowny aktyw (o zmienności $\sigma_t$) i trzymający $1-w$ na rachunku bankowym ma zmienność równą

$$ \sigma_p = w \sigma_t$$

Jak ustalić $w$? Jednym podejściem jest targeting zmienności: $w$ dobieramy tak, by prognozowana roczna zmienność portfela osiągnęła docelowy poziom, np. 5%. Wówczas:

$$ w^* = 0.05 /\sigma_t $$

Ponieważ zmienności GARCH się zmieniają, optymalny udział też się zmienia.

Czas poćwiczyć z rugarch!

Modele GARCH w R