Kombinacje elementów

Analiza koszyka zakupowego w R

Christopher Bruffaerts

Statistician

Powrót do sklepu spożywczego

Co jest w sklepie?

wszystkie produkty jako emotikony

Co Pan/Pani wybiera dzisiaj?

chleb i trzy sery

{"Bread", "Cheese", "Cheese", "Cheese"}

Fokus analizy koszyka zakupów

chleb i ser

{"Bread", "Cheese"}

Podzbiory i nadzbiory

Mój sklep – zbiór

X = {"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"}

wszystkie produkty jako emotikony

Podzbiory X – zbiory elementów

Rozmiar 0: { ${ \emptyset }$ }
Rozmiar 1: {"Bread"}, {"Wine"}, ...
Rozmiar 2: {"Bread", "Wine"}, ...

Nadzbiory

{"Bread", "Butter"} jest nadzbiorem {"Bread"}
{"Bread", "Butter", "Cheese", "Wine"} jest nadzbiorem {"Bread", "Butter"}

Graf zbiorów elementów

Pytanie:

Jaki jest zbiór wszystkich możliwych podzbiorów X?

X = {A, B, C, D}

siatka zbiorów elementów

Przecięcia i sumy zbiorów

Przecięcie

{"Bread"} $\cap$ {"Butter"} = $\emptyset$

{"Bread", "Butter"} $\cap$ {"Butter", "Wine"} = {"Butter"}

library(dplyr)
A = c("Bread", "Butter")
B = c("Bread", "Wine")
intersect(A,B)

[1] "Bread"

Suma zbiorów

{"Bread"} $\cup$ {"Butter"} = {"Bread", "Butter"}

union(A,B)

[1] "Bread"  "Butter" "Wine"

Ile koszyków rozmiaru k?

Pytanie:

Ile możliwych podzbiorów rozmiaru k ze zbioru rozmiaru n?

„n nad k"

$${n \choose k} = \dfrac{n!}{(n-k)! k!},$$ gdzie

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 2 \times 1$

Przykład:

Liczba koszyków z 2 różnymi produktami ze sklepu:

wszystkie produkty jako emotikony

$${4 \choose 2} = \dfrac{4!}{(4-2)! 2!} = 6$$

Ile możliwych koszyków?

Pytanie

Ile możliwych koszyków można utworzyć ze zbioru rozmiaru n?

Dwumian Newtona

$$\sum_{k=0}^n{n \choose k} = 2^n$$

2^(n_items)

Przykład

Całkowita liczba koszyków:

$$2^4 = 16$$

wszystkie produkty jako emotikony

Ile koszyków w R?

Kombinacje w R

n_items = 4
basket_size = 2
choose(n_items, basket_size)

[1] 6

# Looping through all possible values
store = matrix(NA, nrow=5, ncol=2)
for (i in 0:n_items){
  store[i+1,] = c(i, choose(n_items,i))}

Wynik

colnames(store)=c("size", "nb_combi")
store

     size nb_combi
[1,]    0        1
[2,]    1        4
[3,]    2        6
[4,]    3        4
[5,]    4        1

Wykres liczby kombinacji

Sprawdź, jak szybko rośnie liczba kombinacji

n_items = 50
fun_nk = function(x) choose(n_items, x)
# Plotting
ggplot(data = data.frame(x = 0),
    mapping = aes(x=x))+
  stat_function(fun = fun_nk)+
  xlim(0, n_items)+
  xlab("Subset size")+
  ylab("Number of subsets")

rozkład kombinacji

Czy jesteś gotowy, aby liczyć?

Analiza koszyka zakupowego w R