Renta całożyciowa, terminowa i odroczona

Wycena produktów ubezpieczeń na życie w R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Seria świadczeń

Co jeśli?
- Świadczenie wynosi $c_k$ EUR zamiast 1 EUR?
- Seria takich ubezpieczeń na dożycie zamiast jednego?

Ogólne ujęcie

Renta życiowa na $(x)$ z wektorem świadczeń

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
Ciąg ubezpieczeń na dożycie:
- każde z EPV równym $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$
- łącznie:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ EPV.

Renty życiowe w R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Renta całożyciowa z góry

Renta całożyciowa z góry: wypłata $c_k$ na początku roku $(k+1)$.

Renta całożyciowa z dołu

Renta całożyciowa z dołu: wypłata $c_k$ na końcu roku $(k+1)$.

Renty całożyciowe w R

Oblicz $\ddot{a}_{35}$ (z góry) dla stałej stopy procentowej $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

oraz $a_{35}$ (z dołu)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Terminowa renta życiowa z góry

Renta terminowa z góry: maksymalnie $n$ lat, od czasu $0$ do $n-1$.

Odroczona renta całożyciowa z góry

Renta całożyciowa odroczona z góry: brak wypłat przez pierwsze $u$ lat.

Czas na ćwiczenia!

Wycena produktów ubezpieczeń na życie w R