Losowy przyszły czas życia

Wycena produktów ubezpieczeń na życie w R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Losowy przyszły czas życia

$(x)$ oznacza osobę w wieku $x$, gdzie $x \geq 0$.
Zmienna losowa $T_x$ to przyszły czas życia osoby $(x)$.
Wiek w chwili śmierci osoby $(x)$ wynosi $x + T_x$.

Tablica trwania życia w R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table zawiera okresową tablicę trwania życia dla mężczyzn w Belgii z 2013 r.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Współczynniki umieralności i prawdopodobieństwa przeżycia

Roczne prawdopodobieństwo śmierci

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ to współczynnik umieralności w wieku $x$.
Roczne prawdopodobieństwo przeżycia

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Zatem $p_x = 1 - q_x$.

Współczynniki umieralności belgijskich sportowców w R

Eden Hazard to belgijski piłkarz grający w Chelsea, ma 27 lat.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx to belgijski kolarz, pięciokrotny zwycięzca Tour de France, ma 72 lata.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Wizualizacja belgijskich współczynników umieralności $q_x$ w R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Oczekiwana długość życia

Oczekiwany przyszły czas życia osoby $(x)$ to $E[T_x]$
Eden Hazard, lat 27:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Eddy Merckx, lat 72:

ex[72 + 1]

12.67

Wizualizacja oczekiwanej długości życia w R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Czas na ćwiczenia!

Wycena produktów ubezpieczeń na życie w R