Wielowymiarowe rozkłady t

Wielowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa w R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parametry rozkładów wielowymiarowych

Rozkład	Parametr lokalizacji	Parametr skali
Normalny	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Skośno-normalny	`xi`	`Omega`
Skośno-t	`xi`	`Omega`

Parametry rozkładów wielowymiarowych

Rozkład	Parametr lokalizacji	Parametr skali	Stopnie swobody
Normalny	`mean`	`sigma`	Nie
t	`delta`	`sigma`	Tak
Skośno-normalny	`xi`	`Omega`	Nie
Skośno-t	`xi`	`Omega`	Tak

Porównanie jednozmiennego rozkładu normalnego i t

Porównanie

Standardowy normalny
t z różnymi wartościami df

Porównanie ogonów rozkładów normalnego i t

Cięższe ogony dla tego samego progu

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Rozkład	Prawdopodobieństwo
Normalny	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

Notacja wielowymiarowego rozkładu t

Uogólnienie jednozmiennego rozkładu t-Studenta
- Powszechnie stosowana wersja ma jeden stopień swobody dla wszystkich wymiarów i jest oznaczana

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Kontury rozkładów normalnego i t

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Kontury rozkładu t dla df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Kontury dwuwymiarowego rozkładu normalnego

Funkcje dla wielowymiarowego rozkładu t

Dostępne funkcje:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Generowanie próbek losowych

Generuj próbki z 3-wymiarowego rozkładu t dla $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Porównanie z próbkami normalnymi

Rozkład t z 4 stopniami swobody

Rozkład normalny

Porównanie z próbkami normalnymi

Rozkład t z 10 stopniami swobody

Rozkład normalny

Wygenerujmy próbki z wielowymiarowego rozkładu t!

Wielowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa w R