Wielowymiarowe rozkłady skośne

Wielowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa w R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Skośny rozkład wielowymiarowy: wykres rozrzutu

Dane cytometrii przepływowej — rozproszenie boczne (SSC) i rozproszenie do przodu (FSC)

Skośny rozkład wielowymiarowy: wykres konturowy

Dane cytometrii przepływowej — rozproszenie boczne (SSC) i rozproszenie do przodu (FSC)

Jednowymiarowy rozkład skośno-normalny

Ogólny rozkład skośno-normalny oznaczamy $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ i $\omega$ to parametry położenia i skali

Najprostsza postać: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ to parametr skośności

Zakres jednowymiarowych rozkładów skośno-normalnych

Porównanie $SN(\alpha)$ ze standardowym rozkładem normalnym

Dla $\alpha>0$ skośność prawostronná
Dla $\alpha<0$ skośność lewostronna
$SN(0)$ jest równoważny standardowemu rozkładowi normalnemu

Wielowymiarowy rozkład skośno-normalny

Notacja: trójwymiarowy wielowymiarowy rozkład skośno-normalny

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ parametr położenia (wektor długości $3$)
$\Omega$ parametr wariancji-kowariancji (macierz $3 \times 3$)
$\alpha$ parametr skośności (wektor długości $3$)

Wykres konturowy dwuwymiarowego rozkładu skośno-normalnego

Dwuwymiarowy rozkład skośno-normalny

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funkcje dla rozkładu skośno-normalnego

Z biblioteki sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Wymagane: xi, Omega, alpha

Funkcje dla rozkładu skośnego t

Z biblioteki sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Wymagane: xi, Omega, alpha, nu (stopnie swobody)

Generowanie próbek z rozkładu skośno-normalnego

Generowanie 2000 próbek z 3-wymiarowego rozkładu skośno-normalnego

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Próbka z rozkładu skośno-normalnego

Generowanie próbek z rozkładu skośnego t

Generowanie 2000 próbek z 3-wymiarowego rozkładu skośnego t z

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Estymacja parametrów z danych

Do estymacji parametrów rozkładu skośno-normalnego potrzebny jest algorytm iteracyjny
- Brak jawnego wzoru na obliczenie parametrów
Pakiet sn oferuje kilka funkcji, m.in. msn.mle()

Estymacja parametrów z danych

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Próbki wygenerowano przy użyciu:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Czas na ćwiczenia z rozkładami skośno-normalnymi!

Wielowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa w R