Estymacja a posteriori i wnioskowanie

Modelowanie bayesowskie z RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Bayesowski model regresji

$Y_i$ = masa dorosłego $i$ (kg)
$X_i$ = wzrost dorosłego $i$ (cm)

$\;$

Model

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$

$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(1, 0.5^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 20)$

Estymacja punktowa a posteriori

summary(weight_sim_big)

1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
   plus standard error of the mean:
      Mean      SD  Naive SE Time-series SE
a -104.038 7.85296 0.0248332       0.661515
b    1.012 0.04581 0.0001449       0.003849
s    9.331 0.29495 0.0009327       0.001216

2. Quantiles for each variable:
       2.5%       25%      50%     75%   97.5%
a -118.6843 -109.5171 -104.365 -99.036 -87.470
b    0.9152    0.9828    1.014   1.044   1.098
s    8.7764    9.1284    9.322   9.524   9.933

Średnia a posteriori $a$ $\approx$ -104.038

Średnia a posteriori $b$ $\approx$ 1.012

Estymacja punktowa a posteriori

Trend średniej a posteriori:

$m_i = -104.038 + 1.012 X_i$

Wyniki łańcucha Markowa:

head(weight_chains)

             a        b        s
[1,] -113.9029 1.072505 8.772007
[2,] -115.0644 1.077914 8.986393
[3,] -114.6958 1.077130 9.679812
[4,] -115.0568 1.072668 8.814403
[5,] -114.0782 1.071775 8.895299
[6,] -114.3271 1.069477 9.016185

Niepewność a posteriori

Trend średniej a posteriori:

$m_i = -104.038 + 1.012 X_i$

Wyniki łańcucha Markowa:

head(weight_chains)

             a        b        s
[1,] -113.9029 1.072505 8.772007
[2,] -115.0644 1.077914 8.986393
[3,] -114.6958 1.077130 9.679812
[4,] -115.0568 1.072668 8.814403
[5,] -114.0782 1.071775 8.895299
[6,] -114.3271 1.069477 9.016185

Wiarygodne przedziały a posteriori

summary(weight_sim_big)

1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
   plus standard error of the mean:
      Mean      SD  Naive SE Time-series SE
a -104.038 7.85296 0.0248332       0.661515
b    1.012 0.04581 0.0001449       0.003849
s    9.331 0.29495 0.0009327       0.001216

2. Quantiles for each variable:
       2.5%       25%      50%     75%   97.5%
a -118.6843 -109.5171 -104.365 -99.036 -87.470
b    0.9152    0.9828    1.014   1.044   1.098
s    8.7764    9.1284    9.322   9.524   9.933

95% wiarygodny przedział a posteriori dla $a$: (-118.6843, -87.470)

95% wiarygodny przedział a posteriori dla $b$: (0.9152, 1.098)

Wiarygodne przedziały a posteriori

Interpretacja

Uwzględniając priors i obserwowane dane, prawdopodobieństwo (a posteriori), że $b$ wynosi między 0.9152 a 1.098 kg/cm, wynosi 95%.

Prawdopodobieństwa a posteriori

table(weight_chains$b > 1.1)

FALSE  TRUE 
97835  2165

mean(weight_chains$b > 1.1)

0.02165

Interpretacja:
Prawdopodobieństwo a posteriori, że $b$ przekracza 1.1 kg/cm, wynosi 2.165%.

Czas na ćwiczenia!

Modelowanie bayesowskie z RJAGS