Regresja Poissona

Modelowanie bayesowskie z RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Struktura wiarygodności normalnej

$Y$ = wolumen (# użytkowników) danego dnia
$Y \sim N(m, s^2)$

Technicznie...

Model normalny zakłada, że $Y$ ma skalę ciągłą i może być ujemne.
Jednak $Y$ to dyskretna liczba i nie może być ujemna.

Model Poissona

$Y$ = wolumen (# użytkowników) danego dnia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ to # niezależnych zdarzeń w ustalonym przedziale (0, 1, 2,...).
Parametr intensywności $l$ to typowa # zdarzeń na przedział czasu
($l > 0$).

Model Poissona

$Y$ = wolumen (# użytkowników) danego dnia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ to # niezależnych zdarzeń w ustalonym przedziale (0, 1, 2,...).
Parametr intensywności $l$ to typowa # zdarzeń na przedział czasu
($l > 0$).

Model Poissona

$Y$ = wolumen (# użytkowników) danego dnia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ to # niezależnych zdarzeń w ustalonym przedziale (0, 1, 2,...).
Parametr intensywności $l$ to typowa # zdarzeń na przedział czasu
($l > 0$).

Model Poissona

$Y$ = wolumen (# użytkowników) danego dnia
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ to # niezależnych zdarzeń w ustalonym przedziale (0, 1, 2,...).
Parametr intensywności $l$ to typowa # zdarzeń na przedział czasu
($l > 0$).

Regresja Poissona

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ gdzie $l_i > 0$

Regresja Poissona

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ gdzie $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Regresja Poissona

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ gdzie $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Problem:
Bezpośrednie powiązanie $l_i$ z modelem liniowym zakłada, że $l_i$ może być ujemne.

Regresja Poissona

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ gdzie $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Rozwiązanie:
Użyj logarytmicznej funkcji łączącej, aby powiązać $l_i$ z modelem liniowym. Wówczas:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regresja Poissona

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ gdzie $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Rozwiązanie:
Użyj logarytmicznej funkcji łączącej, aby powiązać $l_i$ z modelem liniowym. Wówczas:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Regresja Poissona w RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Regresja Poissona w RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regresja Poissona w RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Regresja Poissona w RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Zastrzeżenia

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Założenie: wśród dni o podobnej temperaturze i typie dnia wariancja $Y_i$ jest równa średniej $Y_i$.
Dane wykazują potencjalną nadmierną dyspersję – wariancja jest większa niż średnia.
Model nie jest doskonały, lecz stanowi dobry punkt wyjścia.

Czas na ćwiczenia!

Modelowanie bayesowskie z RJAGS