单样本比例检验

R 中的假设检验

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

第 1 章回顾

某未知总体比例的主张是否可行？
用自举分布计算样本统计量的标准误。
用它计算标准化检验统计量，…
再用它计算 p 值，…
再据此判定哪种假设更合理。
这里将不借助自举分布直接计算检验统计量。

比例的标准化检验统计量

$p$：总体比例（未知总体参数）

$\hat{p}$：样本比例（样本统计量）

$p_{0}$：假设的总体比例

$$ z = \frac{\hat{p} - \text{mean}(\hat{p})}{\text{standard error}(\hat{p})} = \frac{\hat{p} - p}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

在 $H_{0}$ 为真时，$p = p_{0}$，因此

$$ z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

更易的标准误计算

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}$

在 $H_{0}$ 为真时，

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

仅用样本信息（$\hat{p}$ 和 $n$）及假设参数（$p_{0}$）。

为何用 z 而非 t？

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

$s$ 由 $\bar{x}$ 计算，因此用 $\bar{x}$ 同时估计总体均值和总体标准差。
这会增加总体参数估计的不确定性。
t 分布尾部比正态分布更厚。
因此更保守。
$\hat{p}$ 只在分子中出现，所以用 z 分数即可。

Stack Overflow 年龄分组

$H_{0}$：SO 用户中小于 30 岁的比例等于 0.5。

$H_{A}$：SO 用户中小于 30 岁的比例不等于 0.5。

alpha <- 0.01

stack_overflow %>% 
  count(age_cat)

# A tibble: 2 x 2
  age_cat         n
  <chr>       <int>
1 At least 30  1050
2 Under 30     1216

z 的变量

p_hat <- stack_overflow %>%
  summarize(prop_under_30 = mean(age_cat == "Under 30")) %>%
  pull(prop_under_30)

0.5366

p_0 <- 0.50

n <- nrow(stack_overflow)

计算 z 分数

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

numerator <- p_hat - p_0
denominator <- sqrt(p_0 * (1 - p_0) / n)
z_score <- numerator / denominator

3.487

计算 p 值

正态分布的 CDF。小于 -2 的部分为红色，大于 2 的部分为绿色。左尾（"小于"）

p_value <- pnorm(z_score)

右尾（"大于"）

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

双尾（"不等于"）

p_value <- pnorm(z_score) + 
  pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

p_value <- 2 * pnorm(z_score)

0.000244

p_value <= alpha

TRUE

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