Teste t perechi

Testarea ipotezelor în R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Setul de date privind președinții republicani din SUA

state	county	repub_percent_08	repub_percent_12
Alabama	Bullock	25.69	23.51
Alabama	Chilton	78.49	79.78
Alabama	Clay	73.09	72.31
Alabama	Cullman	81.85	84.16
Alabama	Escambia	63.89	62.46
Alabama	Fayette	73.93	76.19
Alabama	Franklin	68.83	69.68
...	...	...	...

500 de rânduri; fiecare rând reprezintă voturile la nivel de județ dintr-o alegere prezidențială.

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

Ipoteze

Întrebare: Procentul de voturi acordate candidatului republican a fost mai mic în 2008 față de 2012?

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Stabilim $\alpha = 0.05$ ca nivel de semnificație.

Datele sunt perechi, deoarece fiecare procent de voturi se referă la același județ.

De la două eșantioane la unul singur

sample_data <- repub_votes_potus_08_12 %>% 
  mutate(diff = repub_percent_08 - repub_percent_12)

ggplot(sample_data, aes(x = diff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1)

Histograma variabilei diff - majoritatea valorilor sunt între -10 și 10, cu câteva valori extreme.

Calculul statisticilor eșantionului pentru diferență

sample_data %>% 
  summarize(xbar_diff = mean(diff))

  xbar_diff
1 -2.643027

Ipoteze revizuite

Ipoteze vechi

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Ipoteze noi

$H_{0}$: $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$: $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

Calculul valorii p

n_diff <- nrow(sample_data)

s_diff <- sample_data %>% 
  summarize(sd_diff = sd(diff)) %>%
  pull(sd_diff)

t_stat <- (xbar_diff - 0) / sqrt(s_diff ^ 2 / n_diff)

-16.06374

degrees_of_freedom <- n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom)

2.084965e-47

Testarea diferențelor dintre două medii cu t.test()

t.test(

  # Vector of differences
  sample_data$diff,

  # Choose between "two.sided", "less", "greater"
  alternative = "less",

  # Null hypothesis population parameter
  mu = 0

)

    One Sample t-test

data:  sample_data$diff
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of x 
-2.643027

t.test() cu paired = TRUE

t.test(
  sample_data$repub_percent_08,
  sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0,
  paired = TRUE
)

    Paired t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means 
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of the differences 
              -2.643027

t.test() nepereche

t.test(
  x = sample_data$repub_percent_08,
  y = sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0
)

Testul t nepereche are un risc mai mare de eroare de tip fals negativ (putere statistică mai mică).

    Welch Two Sample t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -2.8788, df = 992.76, p-value = 0.002039
alternative hypothesis: true difference in means
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.131469
sample estimates:
mean of x mean of y 
 56.52034  59.16337

Să exersăm!

Testarea ipotezelor în R