Efectuarea testelor t

Testarea ipotezelor în R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Probleme cu două eșantioane

O altă problemă este compararea statisticilor eșantionului între grupurile unei variabile.
converted_comp este o variabilă numerică.
age_first_code_cut este o variabilă categorică cu nivelurile ("child" și "adult").
Utilizatorii care au programat prima dată ca și copii tind să fie mai bine remunerați decât cei care au început ca adulți?

Ipoteze

$H_{0}$: Remunerația medie (în USD) este aceeași pentru cei care au programat prima dată ca și copii și cei care au programat prima dată ca adulți.

$H_{0}$: $\mu_{child} = \mu_{adult}$

$H_{0}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} = 0$

$H_{A}$: Remunerația medie (în USD) este mai mare pentru cei care au programat prima dată ca și copii față de cei care au programat prima dată ca adulți.

$H_{A}$: $\mu_{child} > \mu_{adult}$

$H_{A}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} > 0$

Calcularea statisticilor rezumative pe grupuri

stack_overflow %>% 
  group_by(age_first_code_cut) %>% 
  summarize(mean_compensation = mean(converted_comp))

# A tibble: 2 x 2
  age_first_code_cut mean_compensation
  <chr>                          <dbl>
1 adult                        111544.
2 child                        138275.

Statistici de test

Media eșantionului estimează media populației.
$\bar{x}$ reprezintă media eșantionului.
$\bar{x}_{child}$ este media remunerației din eșantion pentru cei care au programat prima dată ca și copii.
$\bar{x}_{adult}$ este media remunerației din eșantion pentru cei care au programat prima dată ca adulți.
$\bar{x}_{child} - \bar{x}_{adult}$ este o statistică de test.
Scorurile z sunt un tip de statistică de test (standardizată).

Standardizarea statisticii de test

$z = \dfrac{\text{stat. eșantion} - \text{param. populație}}{\text{eroare standard}}$

$t = \dfrac{\text{diferența statisticilor} - \text{diferența parametrilor}}{\text{eroare standard}}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

Eroarea standard

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$s$ este abaterea standard a variabilei.

$n$ este dimensiunea eșantionului (numărul de observații/rânduri).

Presupunând că ipoteza nulă este adevărată

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$H_{0}$: $\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}} = 0$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) }{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

stack_overflow %>%
  group_by(age_first_code_cut) %>%
  summarize(
    xbar = mean(converted_comp),
    s = sd(converted_comp),
    n = n()
  )

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

Calcularea statisticii de test

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

numerator <- xbar_child - xbar_adult
denominator <- sqrt(
  s_child ^ 2 / n_child + s_adult ^ 2 / n_adult
)
t_stat <- numerator / denominator

2.4046

Să exersăm!

Testarea ipotezelor în R