Tests t appariés

Tests d'hypothèse en R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Jeu de données sur les votes républicains aux É.-U.

state	county	repub_percent_08	repub_percent_12
Alabama	Bullock	25.69	23.51
Alabama	Chilton	78.49	79.78
Alabama	Clay	73.09	72.31
Alabama	Cullman	81.85	84.16
Alabama	Escambia	63.89	62.46
Alabama	Fayette	73.93	76.19
Alabama	Franklin	68.83	69.68
...	...	...	...

500 lignes ; chaque ligne représente les votes par comté à une élection présidentielle.

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

Hypothèses

Question : Le pourcentage de votes pour le candidat républicain était-il plus faible en 2008 qu'en 2012 ?

$H_{0}$ : $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$ : $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Fixer le seuil de signification à $\alpha = 0,05$.

Données appariées : chaque pourcentage se rapporte au même comté.

De deux échantillons à un seul

sample_data <- repub_votes_potus_08_12 %>% 
  mutate(diff = repub_percent_08 - repub_percent_12)

ggplot(sample_data, aes(x = diff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1)

Histogramme de la variable diff – la plupart des valeurs sont entre -10 et 10, avec quelques valeurs aberrantes.

Calculer les statistiques d'échantillon de la différence

sample_data %>% 
  summarize(xbar_diff = mean(diff))

  xbar_diff
1 -2.643027

Hypothèses révisées

Anciennes hypothèses

$H_{0}$ : $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$ : $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Nouvelles hypothèses

$H_{0}$ : $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$ : $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

Calcul du p-value

n_diff <- nrow(sample_data)

s_diff <- sample_data %>% 
  summarize(sd_diff = sd(diff)) %>%
  pull(sd_diff)

t_stat <- (xbar_diff - 0) / sqrt(s_diff ^ 2 / n_diff)

-16.06374

degrees_of_freedom <- n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom)

2.084965e-47

Tester la différence entre deux moyennes avec t.test()

t.test(

  # Vecteur des différences
  sample_data$diff,

  # Choisir entre "two.sided", "less", "greater"
  alternative = "less",

  # Paramètre de population sous H0
  mu = 0

)

    One Sample t-test

data:  sample_data$diff
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of x 
-2.643027

t.test() avec paired = TRUE

t.test(
  sample_data$repub_percent_08,
  sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0,
  paired = TRUE
)

    Paired t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means 
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of the differences 
              -2.643027

t.test() non apparié

t.test(
  x = sample_data$repub_percent_08,
  y = sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0
)

Le test t non apparié a plus de risque de faux négatif (puissance statistique moindre).

    Welch Two Sample t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -2.8788, df = 992.76, p-value = 0.002039
alternative hypothesis: true difference in means
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.131469
sample estimates:
mean of x mean of y 
 56.52034  59.16337

Passons à la pratique !

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