Tests de proportion à un échantillon

Tests d'hypothèse en R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Récapitulatif du chapitre 1

Une affirmation sur une proportion de population inconnue est-elle plausible ?
Erreur-type de la statistique d'échantillon calculée à partir de la distribution bootstrap.
Utilisée pour calculer une statistique de test normalisée, ...
puis pour obtenir une valeur p, ...
puis pour choisir l'hypothèse la plus sensée.
Ici, nous calculerons la statistique de test sans utiliser la distribution bootstrap.

Statistique de test normalisée pour des proportions

$p$ : proportion dans la population (paramètre inconnu)

$\hat{p}$ : proportion dans l'échantillon (statistique d'échantillon)

$p_{0}$ : proportion postulée dans la population

$$ z = \frac{\hat{p} - \text{mean}(\hat{p})}{\text{standard error}(\hat{p})} = \frac{\hat{p} - p}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

En supposant que $H_{0}$ est vraie, $p = p_{0}$, donc

$$ z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

Calculs d'erreur-type simplifiés

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}$

En supposant que $H_{0}$ est vraie,

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

Ceci n'utilise que l'information de l'échantillon ($\hat{p}$ et $n$) et le paramètre supposé ($p_{0}$).

Pourquoi z plutôt que t ?

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

$s$ est calculé à partir de $\bar{x}$ ; $\bar{x}$ sert donc à estimer la moyenne populationnelle et l'écart-type populationnel.
Cela accroît l'incertitude de l'estimation du paramètre.
La loi t a des queues plus épaisses que la loi normale.
Cela ajoute un degré de prudence.
$\hat{p}$ n'apparaît qu'au numérateur, donc les scores z conviennent.

Catégories d'âge sur Stack Overflow

$H_{0}$ : La proportion d'utilisateurs de SO de moins de trente ans est égale à 0,5.

$H_{A}$ : La proportion d'utilisateurs de SO de moins de trente ans n'est pas égale à 0,5.

alpha <- 0.01

stack_overflow %>% 
  count(age_cat)

# A tibble: 2 x 2
  age_cat         n
  <chr>       <int>
1 At least 30  1050
2 Under 30     1216

Variables pour z

p_hat <- stack_overflow %>%
  summarize(prop_under_30 = mean(age_cat == "Under 30")) %>%
  pull(prop_under_30)

0.5366

p_0 <- 0.50

n <- nrow(stack_overflow)

Calcul du score z

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

numerator <- p_hat - p_0
denominator <- sqrt(p_0 * (1 - p_0) / n)
z_score <- numerator / denominator

3.487

Calcul de la valeur p

FDR de la loi normale. La partie de la courbe inférieure à -2 est en rouge et celle supérieure à 2 est en vert. Unilatéral gauche (« plus petit que »)

p_value <- pnorm(z_score)

Unilatéral droit (« plus grand que »)

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

Bilatéral (« différent de »)

p_value <- pnorm(z_score) + 
  pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

p_value <- 2 * pnorm(z_score)

0.000244

p_value <= alpha

TRUE

Passons à la pratique !

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