Réaliser des tests t

Tests d'hypothèse en R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Problèmes à deux échantillons

Un autre enjeu consiste à comparer des statistiques d'échantillon entre des groupes d'une variable.
converted_comp est une variable numérique.
age_first_code_cut est une variable catégorielle avec les niveaux ("child" et "adult").
Les personnes qui ont commencé à programmer enfant sont-elles en moyenne mieux rémunérées que celles qui ont commencé à l'âge adulte ?

Hypothèses

$H_{0}$ : La rémunération moyenne (en USD) est la même pour celles et ceux qui ont d'abord codé enfant et celles et ceux qui ont d'abord codé à l'âge adulte.

$H_{0}$ : $\mu_{child} = \mu_{adult}$

$H_{0}$ : $\mu_{child} - \mu_{adult} = 0$

$H_{A}$ : La rémunération moyenne (en USD) est plus élevée pour celles et ceux qui ont d'abord codé enfant que pour celles et ceux qui ont d'abord codé à l'âge adulte.

$H_{A}$ : $\mu_{child} > \mu_{adult}$

$H_{A}$ : $\mu_{child} - \mu_{adult} > 0$

Calcul des statistiques sommaires par groupe

stack_overflow %>% 
  group_by(age_first_code_cut) %>% 
  summarize(mean_compensation = mean(converted_comp))

# A tibble: 2 x 2
  age_first_code_cut mean_compensation
  <chr>                          <dbl>
1 adult                        111544.
2 child                        138275.

Statistiques de test

La moyenne d'échantillon estime la moyenne de la population.
$\bar{x}$ désigne une moyenne d'échantillon.
$\bar{x}_{child}$ est la moyenne d'échantillon originale de la rémunération pour « child ».
$\bar{x}_{adult}$ est la moyenne d'échantillon originale de la rémunération pour « adult ».
$\bar{x}_{child} - \bar{x}_{adult}$ est une statistique de test.
Les scores z sont un type de statistique de test (standardisée).

Standardiser la statistique de test

$z = \dfrac{\text{stat. d'échantillon} - \text{paramètre de population}}{\text{erreur type}}$

$t = \dfrac{\text{différence des stat. d'échantillon} - \text{différence des paramètres de population}}{\text{erreur type}}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

Erreur type

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$s$ est l'écart-type de la variable.

$n$ est la taille de l'échantillon (nombre d'observations/lignes).

En supposant l'hypothèse nulle vraie

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$H_{0}$ : $\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}} = 0$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) }{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

stack_overflow %>%
  group_by(age_first_code_cut) %>%
  summarize(
    xbar = mean(converted_comp),
    s = sd(converted_comp),
    n = n()
  )

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

Calculer la statistique de test

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

numerator <- xbar_child - xbar_adult
denominator <- sqrt(
  s_child ^ 2 / n_child + s_adult ^ 2 / n_adult
)
t_stat <- numerator / denominator

2.4046

Passons à la pratique !

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