Парні t-тести

Перевірка гіпотез у R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Набір даних про голоси за республіканців у США

state	county	repub_percent_08	repub_percent_12
Alabama	Bullock	25.69	23.51
Alabama	Chilton	78.49	79.78
Alabama	Clay	73.09	72.31
Alabama	Cullman	81.85	84.16
Alabama	Escambia	63.89	62.46
Alabama	Fayette	73.93	76.19
Alabama	Franklin	68.83	69.68
...	...	...	...

500 рядків; кожен рядок — це голоси на рівні округу на президентських виборах.

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

Гіпотези

Запитання: чи була частка голосів за кандидата-республіканця нижчою у 2008 році порівняно з 2012-м?

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Встановіть рівень значущості $\alpha = 0.05$.

Дані — парні, адже кожен відсоток виборців належить тому самому округу.

Від двох вибірок до однієї

sample_data <- repub_votes_potus_08_12 %>% 
  mutate(diff = repub_percent_08 - repub_percent_12)

ggplot(sample_data, aes(x = diff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1)

Гістограма змінної diff — більшість значень між -10 і 10, є викиди.

Обчисліть вибіркові статистики різниці

sample_data %>% 
  summarize(xbar_diff = mean(diff))

  xbar_diff
1 -2.643027

Уточнені гіпотези

Старі гіпотези

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Нові гіпотези

$H_{0}$: $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$: $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

Обчислення p-значення

n_diff <- nrow(sample_data)

s_diff <- sample_data %>% 
  summarize(sd_diff = sd(diff)) %>%
  pull(sd_diff)

t_stat <- (xbar_diff - 0) / sqrt(s_diff ^ 2 / n_diff)

-16.06374

degrees_of_freedom <- n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom)

2.084965e-47

Перевірка різниці між двома середніми за допомогою t.test()

t.test(

  # Vector of differences
  sample_data$diff,

  # Choose between "two.sided", "less", "greater"
  alternative = "less",

  # Null hypothesis population parameter
  mu = 0

)

    One Sample t-test

data:  sample_data$diff
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of x 
-2.643027

t.test() з paired = TRUE

t.test(
  sample_data$repub_percent_08,
  sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0,
  paired = TRUE
)

    Paired t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means 
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of the differences 
              -2.643027

Непарний t.test()

t.test(
  x = sample_data$repub_percent_08,
  y = sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0
)

Непарний t-тест має вищий ризик хибнонегативної помилки (нижча потужність).

    Welch Two Sample t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -2.8788, df = 992.76, p-value = 0.002039
alternative hypothesis: true difference in means
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.131469
sample estimates:
mean of x mean of y 
 56.52034  59.16337

Давайте потренуємось!

Перевірка гіпотез у R