Виконання t-тестів

Перевірка гіпотез у R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Проблеми з двома вибірками

Інше завдання — порівнювати вибіркові статистики між групами змінної.
converted_comp — числова змінна.
age_first_code_cut — категоріальна змінна з рівнями ("child" і "adult").
Чи мають користувачі, які почали програмувати в дитинстві, вищу компенсацію за тих, хто почав у дорослому віці?

Гіпотези

$H_{0}$: Середня компенсація (у USD) однакова для тих, хто вперше кодив у дитинстві, і тих, хто почав у дорослому віці.

$H_{0}$: $\mu_{child} = \mu_{adult}$

$H_{0}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} = 0$

$H_{A}$: Середня компенсація (у USD) більша для тих, хто вперше кодив у дитинстві, порівняно з тими, хто почав у дорослому віці.

$H_{A}$: $\mu_{child} > \mu_{adult}$

$H_{A}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} > 0$

Обчислення групових підсумкових статистик

stack_overflow %>% 
  group_by(age_first_code_cut) %>% 
  summarize(mean_compensation = mean(converted_comp))

# A tibble: 2 x 2
  age_first_code_cut mean_compensation
  <chr>                          <dbl>
1 adult                        111544.
2 child                        138275.

Статистики тесту

Вибіркове середнє оцінює середнє в генеральній сукупності.
$\bar{x}$ позначає вибіркове середнє.
$\bar{x}_{child}$ — вибіркове середнє компенсації для тих, хто спершу кодив у дитинстві.
$\bar{x}_{adult}$ — вибіркове середнє компенсації для тих, хто спершу кодив у дорослому віці.
$\bar{x}_{child} - \bar{x}_{adult}$ — це статистика тесту.
z-оцінки — один із типів (стандартизованих) статистик тесту.

Стандартизація статистики тесту

$z = \dfrac{\text{sample stat} - \text{population parameter}}{\text{standard error}}$

$t = \dfrac{\text{difference in sample stats} - \text{difference in population parameters}}{\text{standard error}}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

Стандартна похибка

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$s$ — стандартне відхилення змінної.

$n$ — обсяг вибірки (кількість спостережень/рядків у вибірці).

За умови, що нульова гіпотеза істинна

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$H_{0}$: $\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}} = 0$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) }{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

stack_overflow %>%
  group_by(age_first_code_cut) %>%
  summarize(
    xbar = mean(converted_comp),
    s = sd(converted_comp),
    n = n()
  )

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

Обчислення статистики тесту

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

numerator <- xbar_child - xbar_adult
denominator <- sqrt(
  s_child ^ 2 / n_child + s_adult ^ 2 / n_adult
)
t_stat <- numerator / denominator

2.4046

Давайте потренуємось!

Перевірка гіпотез у R