Enstegs proportionstest

Hypotestestning i R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Repetition av kapitel 1

Är ett påstående om en okänd populationsproportion rimligt?
Standardfelet för stickprovsstatistikan beräknades med bootstrapfördelningen.
Den användes för att beräkna en standardiserad teststatistika, ...
som användes för att beräkna ett p-värde, ...
som användes för att avgöra vilken hypotes som var mest rimlig.
Här beräknar vi teststatistikan utan bootstrapfördelningen.

Standardiserad teststatistika för proportioner

$p$: populationsproportion (okänd populationsparameter)

$\hat{p}$: stickprovsproportion (stickprovsstatistika)

$p_{0}$: hypotetisk populationsproportion

$$ z = \frac{\hat{p} - \text{mean}(\hat{p})}{\text{standard error}(\hat{p})} = \frac{\hat{p} - p}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

Om $H_{0}$ är sann gäller $p = p_{0}$, vilket ger

$$ z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\text{standard error}(\hat{p})} $$

Enklare beräkning av standardfel

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}$

Om $H_{0}$ är sann gäller:

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

Detta använder bara stickprovsinformation ($\hat{p}$ och $n$) och den hypotetiska parametern ($p_{0}$).

Varför z i stället för t?

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

$s$ beräknas från $\bar{x}$, så $\bar{x}$ används för att skatta både populationsmedelvärdet och populationsstandardavvikelsen.
Detta ökar osäkerheten i skattningen av populationsparametern.
t-fördelningen har fetare svansar än normalfördelningen.
Det ger en extra säkerhetsmarginal.
$\hat{p}$ förekommer bara i täljaren, så z-poäng är tillräckliga.

Stack Overflow ålderskategorier

$H_{0}$: Andelen SO-användare under trettio år är lika med 0,5.

$H_{A}$: Andelen SO-användare under trettio år är inte lika med 0,5.

alpha <- 0.01

stack_overflow %>% 
  count(age_cat)

# A tibble: 2 x 2
  age_cat         n
  <chr>       <int>
1 At least 30  1050
2 Under 30     1216

Variabler för z

p_hat <- stack_overflow %>%
  summarize(prop_under_30 = mean(age_cat == "Under 30")) %>%
  pull(prop_under_30)

0.5366

p_0 <- 0.50

n <- nrow(stack_overflow)

Beräkna z-poängen

$z = \dfrac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}*(1-p_{0})}{n}}}$

numerator <- p_hat - p_0
denominator <- sqrt(p_0 * (1 - p_0) / n)
z_score <- numerator / denominator

3.487

Beräkna p-värdet

CDF för normalfördelningen. Den del av linjen som är mindre än -2 är röd och den del som är större än 2 är grön. Vänstersidig ("mindre än")

p_value <- pnorm(z_score)

Högersidig ("större än")

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

Tvåsidig ("inte lika med")

p_value <- pnorm(z_score) + 
  pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

p_value <- 2 * pnorm(z_score)

0.000244

p_value <= alpha

TRUE

Nu kör vi en övning!

Hypotestestning i R