Нотация «большое O»

Структуры данных и алгоритмы на Python

Miriam Antona

Software Engineer

Нотация «большое O»

Измеряет сложность алгоритма в худшем случае
- Временная сложность: время полного выполнения
- Пространственная сложность: дополнительная память
Не использует секунды/байты
- Результаты зависят от оборудования
Математические выражения: $O(1)$, $O(n)$, $O(n^2)$...

Нотация «большое O»

Графическое представление различных алгоритмов в нотации «большое O».

$O(1)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink']

def constant(colors):
    print(colors[2])

constant(colors)

blue

$O(1)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple', 'red']

def constant(colors):
    print(colors[2])  # O(1)

constant(colors)

blue

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink']

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    

linear(colors)

green

yellow

blue

pink

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink'] # n=4

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    # O(4)

linear(colors)

n=4: 4 операции

$O(n)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple'] # n=7

def linear(colors):
  for color in colors:
    print(color)    # O(7)

linear(colors)

n=4: 4 операции
n=7: 7 операций
n=100: 100 операций
...
сложность $O(n)$

$O(n^2)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue']

def quadratic(colors):  
  for first in colors:
      for second in colors:
          print(first, second)

quadratic(colors)

n=3: (3 × 3) 9 операций
n=100: (100 × 100) 10 000 операций
квадратичная закономерность
сложность $O(n^2)$

green green
green yellow
green blue
yellow green
yellow yellow
yellow blue
blue green
blue yellow
blue blue

$O(n^3)$

colors = ['green', 'yellow', 'blue']

def cubic(colors):  
  for color1 in colors:
      for color2 in colors:
          for color3 in colors:
              print(color1, color2, color3)

cubic(colors)

n=3: (3 × 3 × 3) 27 операций
n=10: (10 × 10 × 10) 1 000 операций
кубическая закономерность
сложность $O(n^3)$

Вычисление нотации «большое O»

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']
other_colors = ['orange', 'brown']

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0

  for color in colors:
      print(color)
      color_count += 1

  for other_color in other_colors:
      print(other_color)
      color_count += 1

  print(color_count)

complex_algorithm(colors)

Вычисление нотации «большое O»

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)


def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)


  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)


  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)


  print(color_count)       # O(1)


complex_algorithm(colors)  # O(4

Вычисление нотации «большое O»

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)

  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)

  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)

  print(color_count)       # O(1)

complex_algorithm(colors)  # O(4 + 2n

Вычисление нотации «большое O»

colors = ['green', 'yellow', 'blue', 'pink', 'black', 'white', 'purple']  # O(1)
other_colors = ['orange', 'brown']  # O(1)

def complex_algorithm(colors):
  color_count = 0          # O(1)

  for color in colors:
    print(color)           # O(n)
    color_count += 1       # O(n)

  for other_color in other_colors:
    print(other_color)     # O(m)
    color_count += 1       # O(m)

  print(color_count)       # O(1)

complex_algorithm(colors)  # O(4 + 2n + 2m)

Упрощение нотации «большое O»

Убрать константы
- $O(4 + 2n + 2m)$ -> $O(n + m)$
Разные переменные для разных входных данных
- $O(n + m)$
Убрать меньшие члены
- $O(n + n^2)$

Упрощение нотации «большое O»

Убрать константы
- $O(4 + 2n + 2m)$ -> $O(n + m)$
Разные переменные для разных входных данных
- $O(n + m)$
Убрать меньшие члены
- $O(n + n^2)$ -> $O(n^2)$

Давайте потренируемся!

Структуры данных и алгоритмы на Python