Парные t-тесты

Проверка гипотез в R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Набор данных: голосование за республиканцев в США

state	county	repub_percent_08	repub_percent_12
Alabama	Bullock	25.69	23.51
Alabama	Chilton	78.49	79.78
Alabama	Clay	73.09	72.31
Alabama	Cullman	81.85	84.16
Alabama	Escambia	63.89	62.46
Alabama	Fayette	73.93	76.19
Alabama	Franklin	68.83	69.68
...	...	...	...

500 строк; каждая строка — результаты голосования на уровне округа на президентских выборах.

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

Гипотезы

Вопрос: был ли процент голосов за кандидата от республиканцев ниже в 2008 году, чем в 2012-м?

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Уровень значимости $\alpha = 0{,}05$.

Данные парные, так как каждый процент голосов относится к одному и тому же округу.

От двух выборок к одной

sample_data <- repub_votes_potus_08_12 %>% 
  mutate(diff = repub_percent_08 - repub_percent_12)

ggplot(sample_data, aes(x = diff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1)

Гистограмма переменной diff — большинство значений находится в диапазоне от -10 до 10, есть выбросы.

Вычисление выборочных статистик разности

sample_data %>% 
  summarize(xbar_diff = mean(diff))

  xbar_diff
1 -2.643027

Пересмотренные гипотезы

Прежние гипотезы

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

Новые гипотезы

$H_{0}$: $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$: $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

Вычисление p-значения

n_diff <- nrow(sample_data)

s_diff <- sample_data %>% 
  summarize(sd_diff = sd(diff)) %>%
  pull(sd_diff)

t_stat <- (xbar_diff - 0) / sqrt(s_diff ^ 2 / n_diff)

-16.06374

degrees_of_freedom <- n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom)

2.084965e-47

Проверка различий между двумя средними с помощью t.test()

t.test(

  # Vector of differences
  sample_data$diff,

  # Choose between "two.sided", "less", "greater"
  alternative = "less",

  # Null hypothesis population parameter
  mu = 0

)

    One Sample t-test

data:  sample_data$diff
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of x 
-2.643027

t.test() с параметром paired = TRUE

t.test(
  sample_data$repub_percent_08,
  sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0,
  paired = TRUE
)

    Paired t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means 
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of the differences 
              -2.643027

Непарный t.test()

t.test(
  x = sample_data$repub_percent_08,
  y = sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0
)

Непарный t-тест имеет более высокий риск ошибки второго рода (меньшую статистическую мощность).

    Welch Two Sample t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -2.8788, df = 992.76, p-value = 0.002039
alternative hypothesis: true difference in means
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.131469
sample estimates:
mean of x mean of y 
 56.52034  59.16337

Давайте потренируемся!

Проверка гипотез в R