Вычисление p-значений по t-статистикам

Проверка гипотез в R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

t-распределения

Тестовая статистика t подчиняется t-распределению.
У t-распределений есть параметр — степени свободы, или df.
t-распределения похожи на нормальные, но имеют более тяжёлые хвосты.

График, показывающий функцию плотности стандартного нормального распределения в сравнении с t-распределением с 1 степенью свободы. У t-распределения более тяжёлые хвосты и более низкий пик в центре.

Степени свободы

С ростом числа степеней свободы t-распределение приближается к нормальному.
Нормальное распределение — это t-распределение с бесконечным числом степеней свободы.
Степени свободы — это максимальное число логически независимых значений в выборке.

График, показывающий функцию плотности стандартного нормального распределения в сравнении с t-распределениями при различных степенях свободы. С увеличением числа степеней свободы хвосты сужаются, а пик становится выше, всё больше напоминая нормальное распределение.

Вычисление степеней свободы

Допустим, набор данных содержит 5 независимых наблюдений.
Четыре из них равны 2, 6, 8 и 5.
Известно также, что выборочное среднее равно 5.
Последнее значение уже не является независимым: оно должно быть равно 4.
Степеней свободы: 4.
$df = n_{child} + n_{adult} - 2$

Гипотезы

$H_{0}$: Средняя компенсация (в долларах США) одинакова для тех, кто начал программировать в детстве, и для тех, кто начал во взрослом возрасте.

$H_{A}$: Средняя компенсация (в долларах США) выше у тех, кто начал программировать в детстве, по сравнению с теми, кто начал во взрослом возрасте.

Используйте правосторонний критерий.

Уровень значимости

$\alpha = 0.1$

Если $p \le \alpha$, то $H_{0}$ отвергается.

Вычисление p-значений: одна доля против константы

p_value <- pnorm(z_score, lower.tail = FALSE)

Вычисление p-значений: два средних из разных групп

numerator <- xbar_child - xbar_adult
denominator <- sqrt(s_child ^ 2 / n_child + s_adult ^ 2 / n_adult)
t_stat <- numerator / denominator

2.4046

degrees_of_freedom <- n_child + n_adult - 2

Стандартная ошибка тестовой статистики вычислена приближённо (без бутстрэпа).
Используется CDF t-распределения, а не нормального.

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom, lower.tail = FALSE)

0.008130

Давайте потренируемся!

Проверка гипотез в R