Выполнение t-тестов

Проверка гипотез в R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

Задачи двух выборок

Другая задача — сравнение выборочных статистик по группам переменной.
converted_comp — числовая переменная.
age_first_code_cut — категориальная переменная с уровнями ("child" и "adult").
Получают ли пользователи, начавшие программировать в детстве, более высокую компенсацию, чем те, кто начал во взрослом возрасте?

Гипотезы

$H_{0}$: Средняя компенсация (в долларах США) одинакова для тех, кто начал программировать в детстве, и тех, кто начал во взрослом возрасте.

$H_{0}$: $\mu_{child} = \mu_{adult}$

$H_{0}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} = 0$

$H_{A}$: Средняя компенсация (в долларах США) выше для тех, кто начал программировать в детстве, по сравнению с теми, кто начал во взрослом возрасте.

$H_{A}$: $\mu_{child} > \mu_{adult}$

$H_{A}$: $\mu_{child} - \mu_{adult} > 0$

Вычисление сводных статистик по группам

stack_overflow %>% 
  group_by(age_first_code_cut) %>% 
  summarize(mean_compensation = mean(converted_comp))

# A tibble: 2 x 2
  age_first_code_cut mean_compensation
  <chr>                          <dbl>
1 adult                        111544.
2 child                        138275.

Тестовые статистики

Выборочное среднее оценивает генеральное среднее.
$\bar{x}$ обозначает выборочное среднее.
$\bar{x}_{child}$ — исходное среднее значение компенсации для тех, кто начал программировать в детстве.
$\bar{x}_{adult}$ — исходное среднее значение компенсации для тех, кто начал во взрослом возрасте.
$\bar{x}_{child} - \bar{x}_{adult}$ — тестовая статистика.
z-оценки — один из видов (стандартизированных) тестовых статистик.

Стандартизация тестовой статистики

$z = \dfrac{\text{sample stat} - \text{population parameter}}{\text{standard error}}$

$t = \dfrac{\text{difference in sample stats} - \text{difference in population parameters}}{\text{standard error}}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

Стандартная ошибка

$SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) \approx \sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}$

$s$ — стандартное отклонение переменной.

$n$ — объём выборки (количество наблюдений/строк в выборке).

Предположение об истинности нулевой гипотезы

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) - (\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}})}{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$H_{0}$: $\mu_{\text{child}} - \mu_{\text{adult}} = 0$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}}) }{SE(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}$

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

stack_overflow %>%
  group_by(age_first_code_cut) %>%
  summarize(
    xbar = mean(converted_comp),
    s = sd(converted_comp),
    n = n()
  )

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

Вычисление тестовой статистики

# A tibble: 2 x 4
  age_first_code_cut    xbar       s     n
  <chr>                <dbl>   <dbl> <int>
1 adult              111544. 270381.  1579
2 child              138275. 278130.  1001

$t = \dfrac{(\bar{x}_{\text{child}} - \bar{x}_{\text{adult}})}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{child}}^2}{n_{\text{child}}} + \dfrac{s_{\text{adult}}^2}{n_{\text{adult}}}}}$

numerator <- xbar_child - xbar_adult
denominator <- sqrt(
  s_child ^ 2 / n_child + s_adult ^ 2 / n_adult
)
t_stat <- numerator / denominator

2.4046

Давайте потренируемся!

Проверка гипотез в R