Критерий хи-квадрат независимости

Проверка гипотез в Python

James Chapman

Curriculum Manager, DataCamp

Возвращаемся к критерию пропорций

age_by_hobbyist = stack_overflow.groupby("age_cat")['hobbyist'].value_counts()

age_cat      hobbyist
At least 30  Yes          812
             No           238
Under 30     Yes         1021
             No           190
Name: hobbyist, dtype: int64

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
n_hobbyists = np.array([812, 1021])
n_rows = np.array([812 + 238, 1021 + 190])
stat, p_value = proportions_ztest(count=n_hobbyists, nobs=n_rows, 
                                  alternative="two-sided")

(-4.223691463320559, 2.403330142685068e-05)

Независимость переменных

Результат предыдущего теста: есть свидетельства связи между hobbyist и age_cat

Статистическая независимость — доля успехов в зависимой переменной одинакова во всех категориях объясняющей переменной

Критерий независимости переменных

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x='hobbyist',
                                                       y='age_cat', correction=False)
print(stats)

                 test    lambda       chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  17.839570  1.0  0.000024  0.088826  0.988205
1        cressie-read  0.666667  17.818114  1.0  0.000024  0.088773  0.988126
2      log-likelihood  0.000000  17.802653  1.0  0.000025  0.088734  0.988069
3       freeman-tukey -0.500000  17.815060  1.0  0.000024  0.088765  0.988115
4  mod-log-likelihood -1.000000  17.848099  1.0  0.000024  0.088848  0.988236
5              neyman -2.000000  17.976656  1.0  0.000022  0.089167  0.988694

$\chi^2$ статистика = 17,839570 = $(-4,223691463320559)^2$ = ($z$-оценка)$^2$

Удовлетворённость работой и возрастная категория

stack_overflow['age_cat'].value_counts()

Under 30       1211
At least 30    1050
Name: age_cat, dtype: int64

stack_overflow['job_sat'].value_counts()

Very satisfied           879
Slightly satisfied       680
Slightly dissatisfied    342
Neither                  201
Very dissatisfied        159
Name: job_sat, dtype: int64

Формулировка гипотез

$H_{0}$: Возрастные категории независимы от уровней удовлетворённости работой

$H_{A}$: Возрастные категории не независимы от уровней удовлетворённости работой

alpha = 0.1

Тестовая статистика обозначается $\chi^{2}$
При условии независимости: насколько наблюдаемые результаты отличаются от ожидаемых?

Разведочная визуализация: пропорциональная столбчатая диаграмма

props = stack_overflow.groupby('job_sat')['age_cat'].value_counts(normalize=True)

wide_props = props.unstack()

wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

Разведочная визуализация: пропорциональная столбчатая диаграмма

Пропорциональная столбчатая диаграмма удовлетворённости работой с разбивкой по возрастной категории

Критерий хи-квадрат независимости

import pingouin
expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="job_sat", y="age_cat")
print(stats)

                 test    lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0             pearson  1.000000  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417
1        cressie-read  0.666667  5.554106  4.0  0.235014  0.049563  0.437545
2      log-likelihood  0.000000  5.558529  4.0  0.234632  0.049583  0.437871
3       freeman-tukey -0.500000  5.562688  4.0  0.234274  0.049601  0.438178
4  mod-log-likelihood -1.000000  5.567570  4.0  0.233854  0.049623  0.438538
5              neyman -2.000000  5.579519  4.0  0.232828  0.049676  0.439419

Степени свободы:

$(\text{Кол-во категорий зависимой переменной} - 1) \times (\text{Кол-во категорий объясняющей переменной} - 1)$

$(2 - 1) * (5 - 1) = 4$

Меняем переменные местами?

props = stack_overflow.groupby('age_cat')['job_sat'].value_counts(normalize=True)
wide_props = props.unstack()
wide_props.plot(kind="bar", stacked=True)

Меняем переменные местами?

Пропорциональная столбчатая диаграмма возрастной категории с разбивкой по удовлетворённости работой

Хи-квадрат в обоих направлениях

expected, observed, stats = pingouin.chi2_independence(data=stack_overflow, x="age_cat", y="job_sat")
print(stats[stats['test'] == 'pearson'])

      test  lambda      chi2  dof      pval    cramer     power
0  pearson     1.0  5.552373  4.0  0.235164  0.049555  0.437417

Вопрос: независимы ли переменные X и Y?

Не: независима ли переменная X от переменной Y?

Направление и хвосты распределения

Квадраты наблюдаемых и ожидаемых значений всегда неотрицательны
Критерий хи-квадрат почти всегда является правосторонним $^{1}$

¹ Левосторонние критерии хи-квадрат применяются в статистической криминалистике для выявления подозрительно хорошего соответствия данных, которые могли быть сфабрикованы. Критерии хи-квадрат для дисперсии могут быть двусторонними. Однако это узкоспециализированные случаи.

Давайте потренируемся!

Проверка гипотез в Python