Paired t-tests

Hypothesis Testing in R

Richie Cotton

Data Evangelist at DataCamp

ชุดข้อมูลการเลือกตั้งพรรครีพับลิกันในสหรัฐฯ

state	county	repub_percent_08	repub_percent_12
Alabama	Bullock	25.69	23.51
Alabama	Chilton	78.49	79.78
Alabama	Clay	73.09	72.31
Alabama	Cullman	81.85	84.16
Alabama	Escambia	63.89	62.46
Alabama	Fayette	73.93	76.19
Alabama	Franklin	68.83	69.68
...	...	...	...

500 แถว แต่ละแถวแทนคะแนนเสียงระดับเคาน์ตีในการเลือกตั้งประธานาธิบดี

¹ https://dataverse.harvard.edu/dataset.xhtml?persistentId=doi:10.7910/DVN/VOQCHQ

สมมติฐาน

คำถาม: สัดส่วนคะแนนเสียงที่ผู้สมัครพรรครีพับลิกันได้รับในปี 2008 ต่ำกว่าปี 2012 หรือไม่?

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

กำหนด $\alpha = 0.05$

ข้อมูลเป็นแบบจับคู่ เนื่องจากแต่ละเปอร์เซ็นต์คะแนนเสียงอ้างอิงถึงเคาน์ตีเดียวกัน

จากสองกลุ่มตัวอย่างสู่หนึ่งกลุ่ม

sample_data <- repub_votes_potus_08_12 %>% 
  mutate(diff = repub_percent_08 - repub_percent_12)

ggplot(sample_data, aes(x = diff)) +
  geom_histogram(binwidth = 1)

ฮิสโทแกรมของตัวแปร diff — ค่าส่วนใหญ่อยู่ระหว่าง -10 ถึง 10 โดยมีค่าผิดปกติบางส่วน

คำนวณสถิติตัวอย่างของค่าผลต่าง

sample_data %>% 
  summarize(xbar_diff = mean(diff))

  xbar_diff
1 -2.643027

สมมติฐานที่ปรับใหม่

สมมติฐานเดิม

$H_{0}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} = 0$

$H_{A}$: $\mu_{2008} - \mu_{2012} < 0$

สมมติฐานใหม่

$H_{0}$: $\mu_{\text{diff}} = 0$

$H_{A}$: $ \mu_{\text{diff}} < 0$

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{diff}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{diff} - 1$

การคำนวณค่า p-value

n_diff <- nrow(sample_data)

s_diff <- sample_data %>% 
  summarize(sd_diff = sd(diff)) %>%
  pull(sd_diff)

t_stat <- (xbar_diff - 0) / sqrt(s_diff ^ 2 / n_diff)

-16.06374

degrees_of_freedom <- n_diff - 1

$t = \dfrac{\bar{x}_{\text{diff}} - \mu_{\text{diff}}}{\sqrt{\dfrac{s_{\text{diff}}^2}{n_{\text{diff}}}}}$

$df = n_{\text{diff}} - 1$

p_value <- pt(t_stat, df = degrees_of_freedom)

2.084965e-47

การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองกลุ่มด้วย t.test()

t.test(

  # Vector of differences
  sample_data$diff,

  # Choose between "two.sided", "less", "greater"
  alternative = "less",

  # Null hypothesis population parameter
  mu = 0

)

    One Sample t-test

data:  sample_data$diff
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of x 
-2.643027

t.test() กับ paired = TRUE

t.test(
  sample_data$repub_percent_08,
  sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0,
  paired = TRUE
)

    Paired t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -16.064, df = 499, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means 
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf -2.37189
sample estimates:
mean of the differences 
              -2.643027

t.test() แบบไม่จับคู่

t.test(
  x = sample_data$repub_percent_08,
  y = sample_data$repub_percent_12,
  alternative = "less",
  mu = 0
)

การทดสอบ t แบบไม่จับคู่มีโอกาสเกิด false negative error สูงกว่า (อำนาจทางสถิติต่ำกว่า)

    Welch Two Sample t-test

data:  sample_data$repub_percent_08 and 
       sample_data$repub_percent_12
t = -2.8788, df = 992.76, p-value = 0.002039
alternative hypothesis: true difference in means
                        is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -1.131469
sample estimates:
mean of x mean of y 
 56.52034  59.16337

มาฝึกกันเถอะ!

Hypothesis Testing in R