简单线性回归

Python 中的时间序列分析

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

什么是回归？

简单线性回归：

$\ \ \ \ y_t = \alpha + \beta x_t + \epsilon_t$

什么是回归？

普通最小二乘（OLS）

用于回归的 Python 包

在 statsmodels 中：

import statsmodels.api as sm
sm.OLS(y, x).fit()

在 numpy 中：
```
np.polyfit(x, y, deg=1)
```
在 pandas 中：
```
pd.ols(y, x)
```

在 scipy 中：

from scipy import stats
stats.linregress(x, y)

注意：各包中 x 与 y 的顺序不一致

示例：小盘收益对大盘的回归

导入 statsmodels 模块
```
import statsmodels.api as sm
```

与前面相同，计算两列的百分比变化

df['SPX_Ret'] = df['SPX_Prices'].pct_change()
df['R2000_Ret'] = df['R2000_Prices'].pct_change()

为回归截距向 DataFrame 添加常数项
```
df = sm.add_constant(df)
```

回归示例（续）

注意第一行收益为 NaN

            SPX_Price  R2000_Price   SPX_Ret  R2000_Ret
Date                                                     
2012-11-01  1427.589966   827.849976       NaN        NaN
2012-11-02  1414.199951   814.369995 -0.009379  -0.016283

删除含 NaN 的行
```
  df = df.dropna()
```

运行回归

  results = sm.OLS(df['R2000_Ret'],df[['const','SPX_Ret']]).fit()
  print(results.summary())

回归示例（续）

回归输出

截距在 results.params[0]
斜率在 results.params[1]

回归示例（续）

回归输出

R² 与相关性的关系

$ [\text{corr} (x,y)]^2 = R^2$（R 平方）
$ \text{sign(corr)} = \text{sign(regression slope)}$
上例中：
- R² = 0.753
- 斜率为正
- 相关系数 = $ + \sqrt{0.753} = 0.868$

Passons à la pratique !

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