凸的约束优化

Python 优化入门

Jasmin Ludolf

Content Developer

凸的约束优化

凸函数。

约束：对变量的限制
无差异曲线：表示变量的组合
在无差异曲线上找到使目标函数最小或最大的位置

无差异曲线

一位黑发年轻女性在使用笔记本电脑

自由职业软件工程师
重视工作（$w$）与闲暇（$l$）

效用函数：

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

绘制无差异曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

无差异曲线

可视化无差异曲线

对任意 $w$ 与 $l$ 的具体组合，Alexia 都无差异

时间约束

每天 24 小时
线性等式约束

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

将约束加到图中：
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

无差异曲线与线性约束。最优无差异曲线与约束相切。切点处梯度与约束和切线均垂直。

用 SciPy 求解

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

让我们来练习！

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