多变量优化

Python 优化入门

Jasmin Ludolf

Content Developer

饼干工厂

 

目标函数：

  • $F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
    • $F$：生产函数
    • 劳动（$L$）：工人投入工时
    • 资本（$K$）：机器运转工时
    • 多变量问题

 

生产线上制作饼干。

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偏导数

 

单变量

 

目标函数：

$p = 40q - 0.5q^2$

导数：单一变量变化引起目标函数斜率的变化

$\frac{dp}{dq} = 40 - q$

 

多变量

 

目标函数：

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$

偏导数：斜率对各变量的变化

$\frac{\partial F}{\partial K}$ 和 $\frac{\partial F}{\partial L}$

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求解多变量问题

 

目标函数：

  • $F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
    • $F$：生产函数
    • 劳动（$L$）：工人投入工时
    • 资本（$K$）：机器运转工时
from sympy import symbols, diff, solve


K, L = symbols('K L')
F = K**.34 * L**.66


dF_dK = diff(F, K)
dF_dL = diff(F, L)

crit_points = solve([dF_dK, dF_dL], (K, L))


print(crit_points)

[]
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我们的生产函数

 

目标函数：

  • $F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
  • 随着 $K$、$L$ 增加，$F$ 增加
  • 没有极大值或极小值！

饼干产出函数的 3D 图。

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求导的局限

 

注意以下情况：

  • 不可导
  • 不连续
  • 单调增或单调减

 

  • 不可微：无法用求导优化

三幅图：用求导无法找到极值的函数。

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一起练习！

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