特征值/特征向量的定义

R 数据科学的线性代数

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

定义

对于矩阵 $A$，若标量 $\lambda$ 及非零向量 $\vec{v} \neq \vec{0}$ 满足： $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}$$ 则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\vec{v}$ 为其对应特征向量。

换句话说：

矩阵-向量乘积 $A\vec{v}$ 与标量乘法 $\lambda \vec{v}$ 得到相同的向量。

该矩阵_不必_与上节课中的矩阵相同。

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

注意 $\lambda = 2$ 是 $A$ 的特征值，对应特征向量为 $\vec{v} = (1, 0)^T$：

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

注意 $\lambda = 2$ 是 $A$ 的特征值，且 $\vec{v} = (1, 0)^T$ 和 $\vec{v} = (4, 0)^T$ 都是其特征向量：

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

R 数据科学的线性代数