求解矩阵-向量方程

R 数据科学的线性代数

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

用 $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ 求解 $A\vec{x} = \vec{b}$：

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

将解 $\vec{x}$ 代回检验：

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

这等于给定的 $\vec{b}$：

print(b)

1 -2

唯一解的附加条件

因此，_齐次方程 $A\vec{x} = \vec{0}$ 的唯一解是平凡解_ $\vec{x} = \vec{0}$。

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

若 $A$ 为 $n\times n$ 方阵，则下列条件等价，且蕴含 $A\vec{x} = \vec{b}$ 有唯一解：

R 数据科学的线性代数