贝叶斯法则

Python 概率基础

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

两次抛硬币的概率

独立事件的 P(A 和 B)

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

依赖事件的 P(A 和 B)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

依赖事件的 P(A 和 B)（续）

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A 和 B) 等于 P(B 和 A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A 和 B) 等于 P(B 和 A)（续）

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

贝叶斯关系式

$$ $$

贝叶斯法则

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

全概率

所有供应商的损坏零件维恩图

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

全概率（续）

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

全概率（续）

所有供应商的损坏零件维恩图

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯公式

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

贝叶斯公式（续）

贝叶斯公式：

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

已知零件损坏，来自供应商 i 的概率：

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

贝叶斯公式（续）

贝叶斯公式： $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
已知零件损坏，来自供应商 i 的概率：

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化

所有供应商的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1和2的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1、2、3的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1、2、3的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1、2、3的损坏零件维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1的损坏零件占供应商1、2、3损坏零件的比例维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

贝叶斯法则的可视化（续）

供应商1的损坏零件占供应商1、2、3损坏零件的比例维恩图

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

工厂与零件示例（Python）

某电子零件由三家供应商 V1、V2、V3 生产。

V1 产量占一半，V2 和 V3 各占 25%。在来自 V1 的前提下零件损坏的概率为 1%，V2 为 2%，V3 为 3%。

已知零件损坏，其来自 V1 的概率是多少？

工厂与零件示例（Python，续）

已知零件损坏，求其来自 V1 的概率。

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

工厂与零件示例（Python，续）

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # 计算 P(V1|D)
print(P_V1_g_D)

随机抽到的一个损坏零件来自 V1 的概率为：

0.285714285714

让我们练习贝叶斯

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