回归与预测

Python 中的贝叶斯数据分析

Michal Oleszak

Machine Learning Engineer

线性回归

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ...$$

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

频率学派推断：
- $\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending} + \varepsilon$
- $\varepsilon \sim \mathcal{N} (0, \sigma)$

贝叶斯推断：
- $\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

正态分布

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)




sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")



plt.show()

标准正态分布的密度图，峰值在 0，关于 0 对称。

正态分布

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)


sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")


plt.show()

正态分布密度图，峰值在 3，关于其对称。

正态分布

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)
normal_0_3 = np.random.normal(0, 3, size=10000)

sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")
sns.kdeplot(normal_0_3, shade=True, label="N(0,3)")

plt.show()

标准正态分布的密度图，峰值在 0，关于 0 对称。

贝叶斯回归模型定义

$$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$$

$$\beta_0 \sim \mathcal{N} (5, 2)$$

$$\beta_1 \sim \mathcal{N} (2, 10)$$

$$\sigma \sim \mathcal{Unif} (0, 3)$$

无投放时预计销售额为 $5000$。
每增加 $1000$ 投放，销售额预计增加 $2000$。
标准差采用均匀先验，因为其大小未知。

估计回归参数

网格近似 → 参数多时不可行
选共轭先验并从已知后验采样 → 先验不直观
第三种：即使非共轭先验也可直接从后验模拟！
暂假设参数抽样已给定

绘制后验分布

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

print(marketing_spending_draws)

array([9.6153, 8.9922, ..., 4.59565])

import pymc3 as pm

pm.plot_posterior(
  marketing_spending_draws, 
  hdi_prob=0.95
)

一个密度图，标出了均值和可信区间。

后验抽样分析

posterior_draws_df = pd.DataFrame({
    "intercept_draws": intercept_draws,
    "marketing_spending_draws": marketing_spending_draws,
    "sd_draws": sd_draws
})

print(posterior_draws_df)

       intercept_draws  marketing_spending_draws      sd_draws
count     10000.000000              10000.000000  10000.000000
mean          2.972130                  5.999146      1.337621
std           3.008565                  2.020708      0.471723
min          -8.562093                 -2.842438      0.029643
25%           0.972832                  4.621807      1.003229
50%           3.002940                  5.975067      1.427617
75%           5.020615                  7.362572      1.736310
max          15.228549                 13.258955      1.999834

预测分布

若营销投放 $1000$，可期望多少销售额？

$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

# 获取参数点估计
intercept_mean = intercept_draws.mean()
marketing_spending_mean = marketing_spending_draws.mean()
sd_mean = sd_draws.mean()


# 计算预测分布的均值
predictive_mean = intercept_mean + marketing_spending_mean * 1000


# 从预测分布中模拟
prediction_draws = np.random.normal(predictive_mean, sd_mean, size=10000)

预测分布

若营销投放 $1000$，可期望多少销售额？

一条钟形的预测销售额密度曲线，峰值约为 5986。

让我们回归并预测！

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