逻辑约束

Python 供应链分析

Aaren Stubberfield

Supply Chain Analytics Mgr.

示例问题

最大重量 20,000 磅

产品	重量（磅）	利润（美元）
A	12,800	77,878
B	10,900	82,713
C	11,400	82,728
D	2,100	68,423
E	11,300	84,119
F	2,300	77,765

在不超出重量上限下，选择最赚的产品装运
决策变量：
- X$_{i}$ = 1 表示选择产品 _i_，否则为 0
目标：
- 最大化 z = $\sum$ 利润$_{i}$X$_{i}$
约束：
- $\sum$ 重量$_{i}$X$_{i}$ < 20,0000

prod = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
weight = {'A':12800, 'B':10900, 'C':11400, 'D':2100, 'E':11300, 'F':2300}
prof = {'A':77878, 'B':82713, 'C':82728, 'D':68423, 'E':84119, 'F':77765}

# Initialize Class
model = LpProblem("Loading Truck Problem", LpMaximize)

# Define Decision Variables
x = LpVariable.dicts('ship_', prod, cat='Binary')

# Define Objective
model += lpSum([prof[i]*x[i] for i in prod])

# Define Constraint
model += lpSum([weight[i]*x[i] for i in prod]) <= 20000

# Solve Model
model.solve()
for i in prod: print("{} status {}".format(i, x[i].varValue))

示例结果

最大重量 20,000 磅

产品	是否装运
A	否
B	否
C	否
D	是
E	是
F	是

结果

利润：$230,307
产品重量：15,700 磅

逻辑约束示例 1

产品 E 与产品 D 二选一，不能同时选择。

X$_{E}$ = 1 表示选择产品 _i_，否则为 0
X$_{D}$ = 1 表示选择产品 _i_，否则为 0
约束
- X$_{E}$ + X$_{D}$ ≤ 1

代码示例——逻辑约束示例 1

model += x['E'] + x['D'] <= 1

prod = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
weight = {'A':12800, 'B':10900, 'C':11400, 
          'D':2100, 'E':11300, 'F':2300}
prof = {'A':77878, 'B':82713, 'C':82728, 
        'D':68423, 'E':84119, 'F':77765}

# Initialize Class
model = LpProblem("Loading Truck Problem",
                   LpMaximize)

# Define Decision Variables
x = LpVariable.dicts('ship_', prod, 
                      cat='Binary')

# Define Objective
model += lpSum([prof[i]*x[i] for i in prod])

# Define Constraint
model += 
  lpSum([weight[i]*x[i] for i in prod]) <= 20000
model += x['E'] + x['D'] <= 1

# Solve Model
model.solve()
for i in prod:
  print("{} status {}".format(i, x[i].varValue))

逻辑约束示例 1 结果

最大重量 20,000 磅

产品	是否装运
A	否
B	否
C	是
D	是
E	否
F	是

结果

利润：$228,916
产品重量：15,800 磅

逻辑约束示例 2

若选择产品 D，则必须选择产品 B。

X$_{D}$ = 1 表示选择产品 _i_，否则为 0
X$_{B}$ = 1 表示选择产品 _i_，否则为 0
约束
- X$_{D}$ ≤ X$_{B}$

代码示例——逻辑约束示例 2

model += x['D'] <= x['B']

prod = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F']
weight = {'A':12800, 'B':10900, 'C':11400, 
          'D':2100, 'E':11300, 'F':2300}
prof = {'A':77878, 'B':82713, 'C':82728, 
        'D':68423, 'E':84119, 'F':77765}

# Initialize Class
model = LpProblem("Loading Truck Problem", 
                   LpMaximize)

# Define Decision Variables
x = LpVariable.dicts('ship_', prod,
                      cat='Binary')

# Define Objective
model += lpSum([prof[i]*x[i] for i in prod])

# Define Constraint
model += 
 lpSum([weight[i]*x[i] for i in prod]) <= 20000
model += x['D'] <= x['B']

# Solve Model
model.solve()
for i in prod:
  print("{} status {}".format(i, x[i].varValue))

逻辑约束示例 2 结果

最大重量 20,000 磅

产品	是否装运
A	否
B	是
C	否
D	是
E	否
F	是

结果

利润：$228,901
产品重量：15,300 磅

其他逻辑约束

逻辑约束	数理表达
若选择项目 _i_，则也选择项目 _j_	x$_{i}$ - x$_{j}$ ≤ 0
二选一：选 _i_ 或选 _j_，但不能同时	x$_{i}$ + x$_{j}$ = 1
若选择项目 _i_，则不选项目 _j_	x$_{i}$ - x$_{j}$ ≤ 1
若不选项目 _i_，则不选项目 _j_	-x$_{i}$ + x$_{j}$ ≤ 0
至多选择 _i_、_j_、_k_ 中的一个	x$_{i}$ + x$_{j}$ + x$_{k}$ ≤ 1

¹ James Orlin, and Ebrahim Nasrabadi. 15.053 Optimization Methods in Management Science. Spring 2013. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare. License: Creative Commons BY-NC-SA.

小结

回顾了逻辑约束示例
给出了其他逻辑约束的表格

轮到您了！

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