正态分布

R 中的定量风险管理

Alexander McNeil

Professor, University of York

正态分布的定义

  • 若风险因子服从 GBM，则对数收益应相互独立且正态
  • 事实如此吗？
  • 变量 x 为正态，当其密度为：

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • 由两个参数决定：$\mu$ 与 $\sigma$
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正态分布的性质

  • $\mu$ 为均值，$\sigma ^ 2$ 为方差
  • 常用记号：$X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • 参数可由数据轻松估计
  • 两个及以上独立正态变量之和仍为正态
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中心极限定理（CLT）

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如何估计正态分布

  • 数据：$X_1,...,X_n$
  • 矩估计法：

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • 应用于 2008–09 年 FTSE 的对数收益
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FTSE 示例

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
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展示拟合的正态分布

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

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Passons à la pratique !

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