Student t 分布

R 中的定量风险管理

Alexander McNeil

Professor, University of York

Student t 分布

$$f_X(x) = \frac{\Gamma({\frac{\nu+1}{2}})}{\sigma \sqrt{\nu\pi} \, \Gamma(\frac{\nu}{2})}{\left(1 + \frac{({x- \mu})^2} {\nu \sigma ^ 2}\right)}^{-\frac{\nu + 1}{2}} $$

该分布有三个参数：$\mu, \sigma, \nu$
$\nu$ 小时，尾部更厚
随着 $\nu$ 增大，分布趋近正态

拟合 Student t 分布

极大似然(ML) 法
QRM 包中的 fit.st()
2008–09 年 FTSE 对数收益的 $\nu$ 很小（2.95）

library(QRM)

tfit <- fit.st(ftse)
tpars <- tfit$par.ests
tpars

          nu             mu          sigma
2.949514e+00   4.429863e-05   1.216422e-02

nu <- tpars[1]
mu <- tpars[2]
sigma <- tpars[3]

展示拟合的 Student t 分布

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)
lines(ftse, dnrom(ftse, mean = mean(ftse), sd = sd(ftse)), col = "red")

yvals <- dt((ftse - mu)/sigma, df = nu)/sigma
lines(ftse, yvals, col = "blue")

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