GARCH 模型：前进之路

在 R 中构建 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH 模型的发明者

Robert Engle

Engle

Tim Bollerslev

Bollie

在 R 中构建 GARCH 模型

符号（i）

  • 输入：收益率时间序列

预测的波动率

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符号（ii）

  • 在时点 $t-1$，用当时的信息集预测未来收益 $R_t$：

预测的波动率

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符号（iii）

  • 预测平均收益：对实际收益的最佳预测是什么？ 预测的波动率
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符号（iv）

  • 接着预测方差：收益可能偏离均值多远？ 预测的波动率
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从理论到实践：均值模型

  • 需要一个方程，将过去收益映射为均值的预测 预测的波动率

关于均值的 AR(MA) 模型，参见 Datacamp 的时间序列分析课程。

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从理论到实践：方差模型

  • 需要一个方程，将过去收益映射为方差的预测 预测的波动率
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ARCH(p) 模型：自回归条件异方差

  • 需要一个方程，将过去收益映射为方差的预测 预测的波动率
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GARCH(1,1) 模型：广义 ARCH

  • 需要一个方程，将过去收益映射为方差的预测 预测的波动率
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参数约束

为使 GARCH 过程更贴近现实，需要：

  1. $\omega$、$\alpha$ 和 $\beta$ 均 $>0$：确保任意时点 $\sigma^2_t >0$。

  2. $\alpha + \beta < 1$：确保预测方差 $\sigma^2_t$ 回归长期方差：

    • 因此方差是"均值回归"的
    • 长期方差为 $ \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$
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R 实现——指定输入

  • 用 R 代码熟悉 GARCH 方程：

$$ \sigma^{2}_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

# Set parameter values
alpha <- 0.1
beta <- 0.8
omega <- var(sp500ret) * (1 - alpha - beta)
# Then: var(sp500ret) = omega / (1 - alpha - beta)

# Set series of prediction error
e <- sp500ret - mean(sp500ret) # Constant mean
e2 <- e ^ 2
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R 实现——计算预测方差

# We predict for each observation its variance. 
nobs <- length(sp500ret)
predvar <- rep(NA, nobs)

# Initialize the process at the sample variance
predvar[1] <- var(sp500ret)

# Loop starting at 2 because of the lagged predictor
for (t in 2:nobs){
   predvar[t] <- omega + alpha * e2[t - 1] + beta * predvar[t-1]
}
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R 实现——GARCH 波动率图

# Volatility is sqrt of predicted variance
predvol <- sqrt(predvar)
predvol <- xts(predvol, order.by = time(sp500ret))

# We compare with the unconditional volatility
uncvol <- sqrt(omega / (1 - alpha-beta))
uncvol <- xts(rep(uncvol, nobs), order.by = time(sp500ret))

# Plot
plot(predvol)
lines(uncvol, col = "red", lwd = 2)
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预测的波动率

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Vamos praticar!

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