市场上涨如爬楼梯，下跌如坐电梯

在 R 中构建 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

如何操作？

将 ugarchspec() 的 distribution.model 从 "norm" 改为 "sstd"：

garchspec <- ugarchspec( mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
                         variance.model = list(model = "sGARCH"),
                         distribution.model = "norm")

$$ \downarrow$$ 

garchspec <- ugarchspec( mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
                         variance.model = list(model = "sGARCH"),
                         distribution.model = "sstd")
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正态 GARCH 模型

在模型假设下

$$ R_{t} = \mu_{t} + e_{t} $$ $$ e_{t} \sim N(0, \sigma^{2}_{t}) $$

可得

$$ \frac{R_{t} - \mu_{t}}{\sigma_{t}} \sim N(0, 1) $$

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开始检验

  • 注意：标准化收益的正态性源于一种假设
  • 计算标准化收益，并检验该假设是否成立。
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估计的标准化收益

  • 公式

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

在 R 中计算

# Obtain standardized returns
stdret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)
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检验正态性假设

library(PerformanceAnalytics)
chart.Histogram(sp500ret, methods = c("add.normal", "add.density"),
          colorset = c("gray", "red", "blue"))
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tails

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解决方案

  • 因此，一个更现实的分布需能体现：

    • 肥尾：相较正态，更大幅（正/负）收益的概率更高
    • 偏度：收益分布不对称

  • 在 rugarch 中可用偏斜学生t分布实现：

garchspec <- ugarchspec(distribution.model = "sstd")
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偏斜学生t分布的参数

  • 与正态相比，偏斜学生t分布多两个参数：

    • 自由度参数 $\nu$（在 rugarch 中为 shape）：$\nu$ 越小，尾部越肥。
    • 偏度参数 $\xi$（在 rugarch 中为 skew）：$\xi=1$ 为对称；$\xi<1$ 负偏；$\xi>1$ 正偏。

  • 特例：

    • 当 $\nu=\infty$ 且 $\xi=1$：正态分布。
    • 当 $\xi=1$：学生t分布。
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偏斜学生t的 GARCH 模型估计

将参数 distribution.model 设为 "sstd"

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")

估计模型

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
coef(garchfit)

          mu        omega       alpha1        beta1         skew        shape 
5.669200e-04 6.281258e-07 7.462984e-02 9.223701e-01 9.436331e-01 6.318621e+00
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¡Vamos a practicar!

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