GARCH 波动导致收益的时变性

在 R 中构建 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH 协方差

若两项资产收益 $R_{1,t}$ 与 $R_{2,t}$ 的相关系数为 $\rho$，且波动率随时间变化为 $\sigma_{1,t}$ 与 $\sigma_{2,t}$，则其协方差为：

$$ \sigma_{12, t} = \rho \sigma_{1, t} \sigma_{2, t} $$

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四步估计 GARCH 协方差

步骤 1：使用 ugarchfit() 为每个收益序列估计 GARCH 模型。

msftgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec) 
wmtgarchfit <- ugarchfit(data = wmtret, spec = garchspec)

步骤 2：使用 residuals() 计算标准化收益。

stdmsftret <- residuals(msftgarchfit, standardize = TRUE)
stdwmtret <- residuals(wmtgarchfit, standardize = TRUE)

步骤 3：使用 cor() 将 $\rho$ 估计为标准化收益的样本相关系数。

msftwmtcor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdwmtret)) # equals 0.298795
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四步估计 GARCH 协方差

步骤 4：将估计的相关系数与波动率相乘，得到 GARCH 协方差 

msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)

GARCH 协方差

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协方差在金融中的应用

  • 应用众多
  • 重要情形：最小化投资组合方差
  • 其取决于：
    • 组合权重
    • 各资产的方差
    • 资产收益间的协方差
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投资组合优化的应用

两资产组合方差：资产 1 权重为 $w_{1,t}$，资产 2 为 $(1-w_{1,t})$：

$$ \sigma^{2}_{p, t} = w^{2}_{1, t} \sigma^{2}_{1, t} + (1 - w_{1, t})^{2} \sigma^{2}_{2, t} + 2 w_{1, t} (1 - w_{1, t}) \sigma_{12, t} $$

确定最优 $w_{1,t}$ 的方法很多。一种方法是令 $w_{1,t}$ 使组合方差 $\sigma_{t}^2$ 最小。

最小方差组合的一阶条件：

$$ \frac{\partial \sigma^{2}_{p, t}}{\partial w_{1, t}} = 2 w_{1, t} (\sigma^{2}_{1, t} + \sigma^{2}_{2, t} - 2 \sigma_{12, t}) - 2 (\sigma^{2}_{2, t} - \sigma_{12, t}) = 0 $$

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最小方差组合权重

解答：最小方差权重

在 R 中计算：

msftvar <- sigma(msftgarchfit) ^ 2
wmtvar <- sigma(wmtgarchfit) ^ 2
msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)
msftweight <- (wmtvar - msftwmtcov) / (msftvar + wmtvar - 2 * msftwmtcov)
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GARCH 协方差

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动态 β

股票的"β"估计度量其系统性风险。

定义：股票收益与市场收益的协方差，除以市场收益的方差。

\beta_{t} = \frac{\textnormal{covariance between the stock return and the market return}}{\textnormal{variance of the market return}} $$

对美国股票，市场收益通常指 S&P 500 的收益。

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MSFT 的日度 β

计算 MSFT 与 S&P 500 收益的协方差

msftsp500cor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdsp500ret))
msftsp500cov <- msftsp500cor * sigma(msftgarchfit) * sigma(sp500garchfit)

计算 S&P 500 收益的方差

sp500var <- sigma(sp500garchfit) ^ 2

计算 β

msftbeta <- msftsp500cov / sp500var
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MSFT β

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Passons à la pratique !

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