仅使用预测时可用的数据

在 R 中构建 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

对 `ugarchforecast` 对象应用 `sigma()` 进行波动率预测

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "norm")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)
garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 3)
sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770
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对 `ugarchfit` 对象应用 `sigma()` 的波动率估计 (i)

head(sigma(garchfit), 3)

1989-01-04 0.01099465
1989-01-05 0.01129167
1989-01-06 0.01084294

tail(sigma(garchfit), 3)

2017-12-27 0.005051926
2017-12-28 0.004947569
2017-12-29 0.004862908
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对 ugarchfit 对象应用 sigma() 的波动率估计 (ii)

"前视偏差"：使用未来收益来估计波动率。

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避免前视偏差的方案：滚动估计

  • 编写 for 循环：遍历预测时点，用 ugarchfit() 估计模型，用 ugarchforecast() 预测波动率
  • rugarch 包内置函数 ugarchroll()
  • 选项：
    • 估计样本长度
    • 重新估计频率
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扩展窗口估计

在预测时使用所有可用收益

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滚动窗口估计

仅使用在预测时可用的最近固定数量的收益观测值

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滚动窗口估计的特性

  • 滚动窗口可适应模型参数的变化
  • ugarchroll() 的计算成本主要来自跨预测时点的循环：
    • 可通过以低于预测频率的频率重新估计模型来降低
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滚动与重新估计

每隔 $K$ 个观测重新估计模型以降低计算成本

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函数 ugarchroll

garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

需指定的参数：

  1. 使用的 GARCH 规格
  2. data：使用的收益数据
  3. n.start：初始估计样本大小
  4. refit.window：样本随时间的变化方式："moving" 或 "expanding"
  5. refit.every：模型重新估计的频率
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1999 年 1 月–2018 年 12 月 EUR/USD 日收益示例

对 4961 个 EUR/USD 日收益，从 1999-01-05 开始，使用 2500 个观测的滚动估计窗口：

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参数随时间变化的输出

方法 coef() 返回每次估计的系数列表

coef(garchroll)[[1]]

$index
"2008-12-08"

$coef
            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
mu     -1.480000e-04 1.330915e-04 -1.11201737 0.2661307
ar1    -2.953484e-03 1.985344e-02 -0.14876432 0.8817396
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000
shape   1.098068e+01 2.609293e+01  0.42082981 0.6738794
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估计窗口间的变化

coef(garchroll)[[1]]$coef # 2008-12-08

            Estimate   Std. Error     t value  Pr(>|t|)
omega   7.498928e-08 5.587618e-06  0.01342062 0.9892922
alpha1  2.805079e-02 6.401139e-02  0.43821564 0.6612300
beta1   9.709400e-01 6.080197e-02 15.96889122 0.0000000

coef(garchroll)[[5]]$coef # 2016-11-28

            Estimate   Std. Error      t value     Pr(>|t|)
omega   8.982527e-08 2.639680e-05  0.003402885 9.972849e-01
alpha1  4.149787e-02 2.550381e-01  0.162712424 8.707449e-01
beta1   9.573885e-01 2.195782e-01  4.360125676 1.299878e-05
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滚动预测的均值与波动率是什么？

对于 n.start = 2500 的 EUR/USD 收益，首个预测对应观测 2501，即 2008-12-09：

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方法 as.data.frame()

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds, 3)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142

说明：

  • preds$Mu：预测均值序列
  • preds$Sigma：预测波动率序列
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预测的波动率

garchvol <- xts(preds$Sigma, order.by = as.Date(rownames(preds)))
plot(garchvol)

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滚动预测的准确性

preds <- as.data.frame(garchroll)
head(preds)

                      Mu      Sigma Skew    Shape Shape(GIG)      Realized
2008-12-09 -8.271288e-05 0.01196917    0 10.98068          0  0.0003864884
2008-12-10 -1.495786e-04 0.01179742    0 10.98068          0 -0.0066799754
2008-12-11 -1.287079e-04 0.01167929    0 10.98068          0 -0.0203099142
2008-12-12 -8.845214e-05 0.01199756    0 10.98068          0 -0.0041201588
2008-12-15 -1.362683e-04 0.01184438    0 10.98068          0 -0.0230532787
2008-12-16 -8.034966e-05 0.01228900    0 10.98068          0 -0.0105720492

通过与 preds$Realized 比较来评估 preds$Mu 与 preds$Sigma 的准确性

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均值的均方预测误差

# 均值的预测误差
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
mean(e ^ 2)

3.867998e-05
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方差的均方预测误差

# 均值的预测误差
e  <- preds$Realized - preds$Mu  

# 方差的预测误差
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2)

6.974161e-09
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比较两个模型

学生 t 分布的标准 GARCH

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
     variance.model = list(model = "sGARCH"), distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(tgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
                        refit.window = "moving", refit.every = 500)

偏态学生 t 分布的 GJR-GARCH 

gjrgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
gjrgarchroll <- ugarchroll(gjrgarchspec, data = EURUSDret, n.start = 2500,
            refit.window = "moving", refit.every = 500)
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预测准确性的比较

学生 t 分布的标准 GARCH

preds <- as.data.frame(garchroll)
e  <- preds$Realized - preds$Mu  
d  <- e ^ 2 - preds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # 得到 6.974161e-09

偏态学生 t 分布的 GJR-GARCH 

gjrpreds <- as.data.frame(gjrgarchroll)
e  <- gjrpreds$Realized - gjrpreds$Mu  
d  <- e ^ 2 - gjrpreds$Sigma ^ 2 
mean(d ^ 2) # 得到 6.965095e-09
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实践检验真知

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