验证你对均值和方差的假设

在 R 中构建 GARCH 模型

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

检验1：标准化收益的均值与标准差

标准化收益公式

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

  • 有效性检验一：
    • 标准化收益的样本均值 $\approx$ 0
    • 标准化收益的样本标准差 $\approx$ 1
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检验2：标准化收益的时间序列图

  • 有效性检验二：
    • 标准化收益的时间序列图
    • 方差应近似恒定
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检验3：绝对标准化收益不可预测

  • 有效性检验三：

    • 验证过去的绝对标准化收益与当前的绝对标准化收益不相关。
    • 即：$ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0, $ 当 $k>0$

  • 原因：

    • 绝对标准化收益的幅度应恒定 → 其间不应有相关性。
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自相关

  • 这类时间序列内的相关性称为k阶自相关
    • $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$：当前绝对标准化收益与其前一期的相关性。
    • $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$：当前绝对标准化收益与其前两期的相关性。
    • ...
  • 以上都应为0。例外：
    • $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$：与自身的相关性=1。
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acf()

  • 在 R 中，用自相关函数 acf() 计算
    • 输入：时间序列，最大阶数
    • 输出：相关图（correlogram）：显示不同阶 $k = 0, 1, ...$ 的自相关值。
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应用于 MSFT

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)
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检验4：Ljung-Box 检验

  • 第四步有效性检验：
    • 对绝对标准化收益 $|Z_t$| 的前 k 阶自相关做 Ljung-Box 检验是否为零： $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
    • 类似参数显著性的 $t$ 检验，但此处希望为 0 才算模型良好。

经验法则：p 值小于 5% 表明模型不成立。

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R 中的 Ljung-Box 检验

  • 在 R 中：Box.test()，三个参数：
    • 序列
    • 假设自相关为零的最大阶数
    • type = "Ljung-Box"

示例： 

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")
  • 输出：p 值
    • 经验法则：p 值小于 5% 表明模型不成立。
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对 MSFT 绝对标准化收益的 Box.test

对绝对标准化收益的检验： 

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

注意：p 值 28.55% > 5%。无法拒绝： $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

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诊断绝对标准化收益。

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