拟合 Weibull 模型

Python 中的生存分析

Shae Wang

Senior Data Scientist

概率分布

描述不同事件结果概率的数学函数。

正态分布

概率分布

描述不同事件结果概率的数学函数。

均匀分布

认识 Weibull 分布

Weibull 分布

一种对事件发生时间数据拟合良好的连续概率分布（最初用于粒径分布）。

Weibull 概率密度函数

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}$$ $$x\geq0,k>0,\lambda>0$$

认识 Weibull 分布

$k$

决定形状

k 变化

$\lambda$

决定尺度

lambda 变化

将 Weibull 分布拟合到数据

一家公司维护一批易发生故障的机器…

机器故障直方图

将 Weibull 分布拟合到数据

一家公司维护一批易发生故障的机器…

机器故障 Weibull 拟合

从 Weibull 分布到生存函数

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad\qquad\qquad S(t)=e^{-(t/\lambda)^\rho}$$

Weibull 到生存函数

$\rho$ 与 k 相同

两个参数：k 与 lambda

k 与 $\lambda$

k（或 $\rho$）：决定形状
$\lambda$：决定尺度（表示何时有 63.2% 的总体发生事件）

$$f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k} \quad\rightarrow\quad f(x;\lambda,k=3)=\frac{3}{\lambda}\bigg(\frac{x}{\lambda}\bigg)^2e^{-(x/\lambda)^3}$$

Weibull 分布：失效率/事件率与时间的幂成正比。

解读 k（或 $\rho$）

k<1，事件率下降

当 $k<1$ 时，失效率/事件率随时间下降。

解读 k（或 $\rho$）

k=1，事件率恒定

当 $k=1$ 时，失效率/事件率随时间恒定。

解读 k（或 $\rho$）

k>1，事件率上升

当 $k>1$ 时，失效率/事件率随时间上升。

用 Weibull 分布做生存分析

导入 WeibullFitter 类
```
from lifelines import WeibullFitter
```
实例化 WeibullFitter 类
```
wb = WeibullFitter()
```
调用 .fit() 拟合数据
```
wb.fit(durations, event_observed)
```
访问 .survival_function_、.lambda_、.rho_、.summary、.predict()

Weibull 模型示例

DataFrame 名称：mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
1000	30	1

from lifelines import WeibullFitter
wb = WeibullFitter()

wb.fit(durations=mortgage_df["duration"],
       event_observed=mortgage_df["paid_off"])

Weibull 模型示例

wb.survival_function_.plot()
plt.show()

示例 Weibull 生存曲线

print(wb.lambda_, wb.rho_)

6.11  0.94

print(wb.predict(20))

0.05

Passons à la pratique !

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