预期寿命的计算

用 R 评估人寿保险产品

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

截尾未来寿命

  • $K_x = \lfloor T_x \rfloor$，即未来整年存活数， $\quad \,$ 由 $(x)$ 完成。

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

  • 计算 $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$。
# (65) 的5年递延死亡概率 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# 或者
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664
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截尾预期寿命

  • $K_x$ 的期望称为截尾预期寿命：

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

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超级英雄的预期寿命

 

超能先生35岁，住在比利时。

作为独立超级英雄，他需要做好财务规划。

他的截尾未来寿命的合理估计是多少？

您能帮忙吗？

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在 R 中计算超级英雄的预期寿命

计算 $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$。

# 一年期生存概率
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# (35) 的 k 年期生存概率
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# (35) 的截尾预期未来寿命
sum(kp35)

43.53192
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预期未来寿命

  • 如何从 $E[K_x]$ 推到 $E[T_x]$？

  • 即：从截尾到完整预期寿命？

  • 使用：

    $$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

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在 R 中计算超级英雄的预期寿命

比较 $E[K_{35}]$ 与 $E[T_{35}]$。

# (35) 的截尾预期寿命
sum(kp35)

43.53192

# (35) 的完整预期寿命
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03
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让我们来练习！

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