终身、定期与递延期年金

用 R 评估人寿保险产品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

一系列给付

  • 如果……？
    • 给付为 $c_k$ 欧元而非 1 欧元？
    • 不止一个，而是一系列纯生存给付？
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一般设定

  • $(x)$ 的年金，给付向量

    $$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$

  • 由纯生存给付构成的序列：

    • 各自的期望现值（EPV）为 $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$
    • 合计：

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ 即 EPV。

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R 中的年金

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545
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终身先付年金

终身先付年金：在第 $(k+1)$ 年初支付 $c_k$。

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终身后付年金

终身后付年金：在第 $(k+1)$ 年末支付 $c_k$。

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R 中的终身年金

在恒定利率 i = 3% 下计算 $\ddot{a}_{35}$（先付）

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

以及 $a_{35}$（后付）

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234
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定期先付年金

定期先付年金：至多支付 n 年，从时点 0 到 n−1。

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递延终身先付年金

递延终身先付年金：前 u 年不支付。

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让我们来练习！

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