随机的未来余寿

用 R 评估人寿保险产品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

随机的未来余寿

  • $(x)$ 表示当前年龄为 $x$ 的个体，$x \geq 0$。

  • 随机变量 $T_x$ 为 $(x)$ 的未来余寿。

  • 因此，$(x)$ 的死亡年龄为 $x + T_x$。

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R 中的寿命表

  • 人口死亡数据库（HMD，www.mortality.org).

  • life_table 包含比利时2013年男性的期间寿命表。

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34
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死亡率与生存概率

  • 一年内死亡的概率

    $$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

    $\quad \;$ $q_x$ 为年龄 $x$ 的死亡率。

  • 一年内生存的概率

    $$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$

  • 因此，$p_x = 1 - q_x$。

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比利时运动员的 R 中死亡率

  • 埃登·阿扎尔是效力于切尔西的比利时足球运动员，现年27岁。
age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062
  • 埃迪·梅尔克斯是五夺环法的比利时自行车手，现年72岁。
qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631
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在 R 中可视化比利时死亡率 $q_x$

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

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预期寿命

  • $(x)$ 的（完整）期望未来余寿为 $E[T_x]$

  • 对于27岁的埃登·阿扎尔：

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74
  • 对于72岁的埃迪·梅尔克斯：
ex[72 + 1]

12.67
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在 R 中可视化预期寿命

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

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让我们来练习！

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