二项试验

用 R 评估人寿保险产品

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

R 中的生命表

life_table 包含 2013 年比利时男性的期间生命表。

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

# 本视频用到的变量
qx <- life_table$qx
px <- 1 - qx
lx <- life_table$lx
dx <- life_table$dx

二项试验：存活一年

关注 life_table 中的 $\ell_x$。

lx[0 + 1]

1e+05

二项试验：存活一年

到达年龄 $x+1$ 的存活人数 ~ BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$)。

lx[72 + 1]

px[72 + 1]

0.97369

rbinom(n = 1, size = lx[72 + 1], prob = px[72 + 1])

二项试验：存活一年

现在向量化！

sims <- rbinom(n = length(lx), size = lx, prob = px)
head(sims)

99637 99567 99553 99546 99525 99515

二项试验：存活 $k$ 年

1 年存活人数 ~ BIN($\ell_x$,$\ p_{x}$)。
$\quad \,$ 期望：
$$ \ell_{x+1} = \ell_x \cdot p_x. $$
$k$ 年存活人数 ~ BIN($\ell_x$,$\ _{k}p_{x}$)。

$\quad \,$ 期望：

$$ \ell_{x+k} = \ell_{x} \cdot \ _{k}p_{x}. $$

$\quad \,$ 因此：

$$ _{k}p_{x} = \frac{\ell_{x+k}}{\ell_{x}}. $$

二项试验：死亡人数

死亡人数 ~ BIN($\ell_x$,$\ q_{x}$)。

$\quad \,$ 期望： $$ \large \begin{aligned} d_x &= \ell_x \cdot q_x \\ &= \ell_x \cdot (1-p_x) \\ &= \ell_x -\ell_{x+1}. \end{aligned} $$

dx[72 + 1]

lx[72 + 1] - lx[73 + 1]

在 R 中计算存活概率

计算 $_5p_{65} = \dfrac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$。

# (65) 再存活 5 年的概率
lx[age == 70] / lx[age == 65]

0.9143957

# 或者
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.9143957

在 R 中可视化存活概率

# (65) 存活到 65 + k 岁的概率
k <- 0:45
plot(k, 
     lx[65 + k + 1] / lx[65 + 1], 
     pch = 20, 
     xlab = "k", 
     ylab = expression(paste(""[k], "p"[65])))

Vamos praticar!

用 R 评估人寿保险产品