计算概率

用 R 评估人寿保险产品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

从一年期到多年期生存概率

 

 

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从一年期到多年期生存概率

 

 

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从一年期到多年期生存概率

 

 

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从一年期到多年期生存概率

 

 

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乘法法则

  • 重写生存概率：

$$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$

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乘法法则

  • 重写生存概率：

    $$ _{t+u}p_x =\ _{u}p_x \cdot \ _{t}p_{x+u}. $$

  • 当 $k$ 为整数时：

$$ \begin{aligned} _kp_x &= p_x \cdot \ _{k-1}p_{x+1} \\ &= p_x \cdot p_{x+1} \cdots p_{x+k-1} \\ &= \prod_{l=0}^{k-1} p_{x+l} \end{aligned} $$

$\quad \,$ 即由多个一年期生存概率的乘积组成。

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在 R 中计算生存概率

计算 $_5p_{65} = p_{65} \cdot p_{66} \cdot p_{67} \cdot p_{68} \cdot p_{69}$。

# 一年期生存概率
px <- 1 - life_table$qx 
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65) 再生存 5 年的概率
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9144015

计算 $_5p_{65} = \frac{\ell_{70}}{\ell_{65}}$。

# 另一种方法（因四舍五入有差异）
lx[70 + 1] / lx[65 + 1]


0.9143957
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在 R 中计算生存概率的累积乘积

计算 $_kp_{65}$，其中 $k = 1, 2, 3, 4, 5$。

# 一年期生存概率
px[(65 + 1):(69 + 1)]

0.98491 0.98320 0.98295 0.98091 0.97935

# (65) 的多年期生存概率
cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)])

0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820
0.9144015

计算 $_kp_{65}$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$。

# (65) 的多年期生存概率
c(1, cumprod(px[(65 + 1):(69 + 1)]))

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 
0.9336820 0.9144015
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递延期死亡概率

  • 关注一个特定的递延期死亡概率：

  • $(x)$ 先完整生存 $k$ 年，但在达到 $x + k + 1$ 岁前死亡：

$$ \begin{aligned} _{k|}q_x &= {}_kp_x \cdot q_{x+k}. \end{aligned} $$

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在 R 中计算递延期死亡概率

计算 $_{5|}q_{65} = {}_5p_{65} \cdot q_{70}$。

# (65) 的 5 年递延期死亡概率 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

计算 $_{5|}q_{65} = \frac{d_{70}}{\ell_{65}}$。

# 另一种方法（因四舍五入有差异）
dx[70 + 1] / lx[65 + 1]

0.02086817
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在 R 中计算递延期死亡概率

计算 $_{k|}q_{65} = {}_kp_{65} \cdot q_{65 + k}$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots$

# (65) 的生存概率
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(length(px) - 1)]))
head(kpx)

1.0000000 0.9849100 0.9683635 0.9518529 0.9336820 0.9144015

# (65) 的递延期死亡概率
kqx <- kpx * qx[(65 + 1):length(qx)]
head(kpx)

0.01509000 0.01654649 0.01651060 0.01817087 0.01928053 0.02086664
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Vamos praticar!

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