终身、定期与递延寿险

用 R 评估人寿保险产品

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

一系列一年期合同

  • 如果……？
    • 给付为 $b_k$ 欧元而非 1 欧元？
    • 用一系列一年期合同替代单一合同？
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一般设定

  • 对被保险人 $(x)$ 的寿险，具有身故给付向量：

    $$ (b_0,b_1, \ldots, b_k, \ldots) $$

  • 一系列一年期合同：

    • 各自的期望现值（EPV）为 $ b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k}p_x \cdot q_{x+k} $
    • 合计：

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_kp_x \cdot q_{x+k} = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \cdot v(k+1) \cdot {}_{k|}q_{x}$$

$\quad \, \quad \,$ 即 EPV。

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终身寿险

终身寿险：覆盖期为一生。

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定期寿险

定期（或：期限）寿险：最长 $n$ 年。

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递延终身寿险

递延终身寿险：前 $u$ 年无给付。

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在 R 中计算寿险

在恒定利率 i = 3% 下计算 $A_{35}$。

# Whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- rep(1, length(kqx))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2880872

现在计算 ${}_{20|}A_{35}$。 

# Deferred whole-life insurance of (35)
kpx <- c(1, cumprod(px[(35 + 1):(length(px) - 1)]))
kqx <-  kpx * qx[(35 + 1):length(qx)]
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (1:length(kqx))
benefits <- c(rep(0, 20), rep(1, length(kqx) - 20))
sum(benefits * discount_factors * kqx)

0.2552956
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让我们练习！

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