多元 t 分布

R 中的多元概率分布

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

多元分布的参数

分布	位置参数	尺度参数
正态	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
偏态正态	`xi`	`Omega`
偏态 t	`xi`	`Omega`

多元分布的参数

分布	位置参数	尺度参数	自由度
正态	`mean`	`sigma`	否
t	`delta`	`sigma`	是
偏态正态	`xi`	`Omega`	否
偏态 t	`xi`	`Omega`	是

单变量正态与 t 分布的比较

比较

标准正态
不同 df 的 t 分布

正态与 t 分布尾部比较

在相同阈值下，尾部更厚

$P(X< - 1.96 \text{ 或 } X > 1.96)$

分布	概率
正态	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

多元 t 分布的记号

单变量 Student t 分布的推广
- 常用版本在所有维度共用一个自由度，记为

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

二元正态与 t 分布的等高线

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

自由度为 df = 3 的 t 分布等高线

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

二元正态的等高线

多元 t 分布的函数

常用函数：
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

生成随机样本

从三维 t 分布生成样本，$ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

与正态样本对比

自由度为 4 的 t 分布

正态分布

与正态样本对比

自由度为 10 的 t 分布

正态分布

让我们从多元 t 分布生成样本！

R 中的多元概率分布