累积分布与逆CDF

R 中的多元概率分布

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

何时需要计算 CDF 和逆 CDF？

均值 $\mu=210$、标准差 $\sigma=10$ 的正态密度

$x < 200$ 下曲线下的面积

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

求使累积概率为 0.95 的 $x_0$ 是多少？


qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)


[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95% 的咖啡罐重量小于 226.45 克

二元正态在 x = 2、y = 4 处的 CDF，${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

二元正态在 x = 2、y = 4 处的 CDF，${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

$ 1 < x < 2$ 且 $2 < y < 4$ 的概率

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

$ 1 < x < 2$ 且 $2 < y < 4$ 的概率

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

深红色椭圆为 0.95 分位

qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

半径为 2.24 的红色圆包含 0.95 的概率

R 中的多元概率分布